Question

Линейное уравнение с тримя перемеными 2x1+3x2+4x3=0 4x1+2x2+x3=0 3x1+5x2-2x3=0[/tex]

Answer 1

Будем решать систему уравнений матричным методом (по правилу Крамера).
Главный определитель системы составляется из коэффициентов при неизвестных.
$\left [ \begin {array} {ccc} 2&3&4 \\ 4&2&1 \\ 3&5&-2 \end {array} \right ]$
Вычисляем значение определителя, раскрывая его по первой строке.
Каждый элемент строки 1 и столбца i умножаем на определитель, полученный вычеркиванием 1-й строки и i-го столбца и результаты складываем. Для нечетного i слагаемое берется с плюсом, для четного - с минусом.
$\Delta = \left [ \begin {array} {ccc} 2&3&4 \\ 4&2&1 \\ 3&5&-2 \end {array} \right ]=2\left [ \begin {array} {cc} 2&1 \\ 5&-2 \end {array} \right ]-3\left [ \begin {array} {cc} 4&1 \\ 3&-2 \end {array} \right ]+4\left [ \begin {array} {cc} 4&2 \\ 3&5 \end {array} \right ]= \\ 2*(2*(-2)-5*1)-3*(4*(-2)-3*1)+4*(4*5-3*2)= \\ 2*(-4-5)-3*(-8-3)+4*(20-6)=-18+33+56=71$
Поскольку главный определитель положительный, система уравнений имеет единственное решение.
Теперь строим дополнительный определитель для переменной х1, для чего в главном определителе заменяем элементы первой строки на значения из правой части системы.
$\Delta_{x1} = \left [ \begin {array} {ccc} 0&3&4 \\ 0&2&1 \\ 0&5&-2 \end {array} \right ]$
Вычисляем этот определитель, раскрывая его по первому столбцу
$\Delta_{x1} = 0*\left [ \begin {array} {cc} 2&1 \\ 5&-2 \end {array} \right ]-0*\left [ \begin {array} {cc} 3&4 \\ 5&-2 \end {array} \right ]+0*\left [ \begin {array} {cc} 3&4 \\ 2&1 \end {array} \right ]=0; \\ x1= \frac{\Delta_{}x1}{\Delta}= \frac{0}{71}=0$
Остальные два определителя строятся аналогично, замещая элементы во втором и третьем столбцах нулями и их значения по аналогии также будут нулевыми.
Поэтому решением системы будет х1=х2=х3=0