Question

(2x+8x^2)/(2x-1)< 0 решить неравенство

Answer 1

x∈(-∞; -0,25)∪(0; 0,5)

Объяснение:

$\displaystyle \frac{2 \cdot x+8 \cdot x^{2}}{2 \cdot x-1}<0 \Leftrightarrow (2 \cdot x+8 \cdot x^{2})\cdot(2 \cdot x-1)<0 \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow x \cdot (2 +8 \cdot x)\cdot (2 \cdot x-1)<0 \Leftrightarrow 8 \cdot 2 \cdot x \cdot (\frac{1}{4} + x)\cdot(x-\frac{1}{2})<0 \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow x \cdot (x+\frac{1}{4}) \cdot (x-\frac{1}{2})<0 \Leftrightarrow x \cdot (x+0,25) \cdot (x-0,5)<0$

Рассмотрим функцию:

$\displaystyle f(x)=x \cdot (x+0,25) \cdot (x-0,5)$

Определим нули функции f(x):

f(x) =0 ⇔ x·(x+0,25)·(x-0,5)=0 ⇔ x₁= -0,25, x₂=0, x₃=0,5.

Нули функции f(x) делят делят ось Ох на промежутки (-∞; -0,25), (-0,25; 0), (0; 0,5) и (0,5; +∞), в каждом из которых функция f(x) сохраняет свой знак (применяем метод интервалов). Поэтому:

1) при x∈(-∞; -0,25) функция f(x)=x·(x+0,25)·(x-0,5)<0, так как, например при -0,5∈(-∞; -0,25):

f(-0,5)=(-0,5)·(-0,5+0,25)·(-0,5-0,5)=(-0,5)·(-0,25)·(-1)= -0,125<0;

2) при x∈(-0,25; 0) функция f(x)=x·(x+0,25)·(x-0,5)>0, так как, например при -0,05∈(-0,25; 0):

f(-0,05)=(-0,05)·(-0,05+0,25)·(-0,05-0,5)=(-0,05)·0,2·(-0,55)= 0,0055>0;

3) при x∈(0; 0,5) функция f(x)=x·(x+0,25)·(x-0,5)<0, так как, например при 0,05∈(0; 0,5):

f(0,05)=0,05·(0,05+0,25)·(0,05-0,5)=0,05·0,3·(-0,45)= -0,00675<0;

4) при x∈(0,5; +∞) функция f(x)=x·(x+0,25)·(x-0,5)>0, так как, например при 0,75∈(0,5; +∞):

f(0,75)=0,75·(0,75+0,25)·(0,75-0,5)=0,75·1·0,25= 0,1875>0;

Тогда решением заданного неравенства будет:

x∈(-∞; -0,25)∪(0; 0,5).