Решим систему х-у=1 х²-у=3 Из первого уравнения выразим х х=1+у Подставим это выражение во второе уравнение (1+у)²-у=3 1+2у+у²-у-3=0 у²+у-2=0 D=9; y₁=1;y₂=-2 Если у₁=1,то х₁=1+1=2 если у₂=-2,то х₂=1-2=-1 Найдём значение выражения х₁у₁+х₂у₂=2·1+(-1)·(-2)=2+2=4
Числа вида 4n, 4n+1 и 4n+3 представимы в виде разности квадратов: 4n=(n+1)²-(n-1)²; 4n+1=(2n+1)²-(2n)²; 4n+3=(2n+2)²-(2n+1)².
Числа вида 4n+2 не представимы в виде разности квадратов, т.к. иначе 4n+2=a²-b²=(a-b)(a+b). Если а и b имеют разную четность, то а-b и a+b - нечетные числа, и значит (a-b)(a+b) нечетно. Если а и b имеют одинаковую четность, то а-b и a+b - оба четные, и значит (a-b)(a+b) делится на 4. Но число 4n+2 - не является нечетным и не делится на 4. Значит, оно не может быть равно a²-b² ни при каких а и b.
Таким образом, все натуральные числа не представимые в виде разности квадратов имеют вид 4n+2, где n=0,1,2, Так как первое такое число (равное 2) будет при n=0, то трехтысячное число будет при n=2999, т.е. равно 4*2999+2=11998.
х-у=1
х²-у=3
Из первого уравнения выразим х
х=1+у
Подставим это выражение во второе уравнение
(1+у)²-у=3
1+2у+у²-у-3=0
у²+у-2=0
D=9; y₁=1;y₂=-2
Если у₁=1,то х₁=1+1=2
если у₂=-2,то х₂=1-2=-1
Найдём значение выражения х₁у₁+х₂у₂=2·1+(-1)·(-2)=2+2=4