Question

Найдите все целочисленные решения уравнения

Answer 1

Х^2+5*у^2+34*z^2+2*х*у-10*х*z-22*у*z=0
(х+у-5z)^2+4y^2+9z^2-12yz=0
(х+у-5z)^2+(2y-3z)^2=0
х+у-5z=0
2y-3z=0
z=2*k
y=3*k
x=5*2*k-3*k=7*k
ответ (х;у;z) = (7k; 3*k; 2*k)
 k - целое

Answer 2

$x^2+2xy-10xz-22yz+34z^2+5y^2=0 \\ x^2+x(2y-10z)-22yz+34z^2+5y^2=0 \\ (x+(y-5z))^2+(-(y^2-10zy+25z^2)-22yz+34z^2+5y^2=0 \\ (x+(y-5z))^2+(4y^2-12zy+9z^2)=0 \\ (x+(y-5z))^2+4(y-1.5z)^2=0 \\ (x+y-5z)^2+4(y-1.5z)^2=0$

Сложим систему

$\left \{ {{x+y-5z=0} \atop {y-1.5z=0}} \right. \left \{ {{x=-y+5z} \atop {y-1.5z=0}} \right.$

Из уравнения 2 выразим переменную у

$\left \{ {{x=-y+5z} \atop {y=1.5z}} \right. \left \{ {{x=-1.5z+5z} \atop {y=1.5z}} \right. \\ \left \{ {{x=3.5z} \atop {y=1.5z}} \right.$

Так как  z - четное число, т.е z=2k

$\left \{ {{x=7k} \atop {y=3k}}\atop {z=2k} \right.$

ответ: $(7k;3k;2k)$