Question

Решить с объяснением. 1)√(x+2*√(x-3)-2)+√(x-2*√(x-3)-2)=x-3 2)√(x+5-4*√(x+1))+√(x+10-6*√(x+1))=1 3)√(2x+1)+√(x-3)=√2

Answer 1

Решить с объяснением.
1)√(x+2*√(x-3)-2)+√(x-2*√(x-3)-2)=x-3
2)√(x+5-4*√(x+1))+√(x+10-6*√(x+1))=1
3)√(2x+1)+√(x-3)=√2
Решение:
1)$\sqrt{x+2\sqrt{x-3}-2}+\sqrt{x-2\sqrt{x-3}-2}=x-3$

$\sqrt{x-3+2\sqrt{x-3}+1}+\sqrt{x-3-2\sqrt{x-3}+1}=x-3$

$\sqrt{(\sqrt{x-3})^{2}+2\sqrt{x-3}+1}+\sqrt{(\sqrt{x-3})^{2}-2\sqrt{x-3}+1}=x-3$

$\sqrt{(\sqrt{x-3}+1)^{2}}+\sqrt{(\sqrt{x-3}-1)^{2}}=x-3$

$\sqrt{x-3}+1+|\sqrt{x-3}-1|=x-3$

ОДЗ уравнения х≥3
если √(x-3)≥1 или x-3≥ 1 или х≥4

$\sqrt{x-3}+1+\sqrt{x-3}-1=x-3$

$2\sqrt{x-3}=x-3$

4(x-3)=x²-6x+9
x²-10x + 21=0
D=100-4*21=100-84=16
x1=(10-4)/2=3(не подходит так как x≥4)
x2=(10+4)/2=7
если 0≤√(x-3)≤1 или 0≤x-3≤ 1 или 3≤х≤4

$\sqrt{x-3}+1-\sqrt{x-3}+1=x-3$

2=x-3
 x=5(не подходит)
ответ:7

2)$\sqrt{x+5-4\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+10-6\sqrt{x+1}}=1$

$\sqrt{x+1-2*2\sqrt{x+1}+4}+\sqrt{x+1-2*3\sqrt{x+1}+9}=1$

$\sqrt{(\sqrt{x+1})^{2}-2*2\sqrt{x+1}+2^{2}}+\sqrt{(\sqrt{x+1})^{2}-2*3\sqrt{x+1}+3^{2}}=1$

$\sqrt{(\sqrt{x+1}-2)^{2}}+\sqrt{(\sqrt{x+1}-3)^{2}}=1$

$|\sqrt{x+1}-2|+|\sqrt{x+1}-3|=1$

ОДЗ х≥-1
если 0≤√(x+1)≤2 или 0≤x+1≤4 или -1≤х≤3

$-\sqrt{x+1}+2-\sqrt{x+1}+3=1$

$\sqrt{x+1}=2$

x+1=4
х=3
если 2≤√(x+1)≤3 или 4≤x+1≤9 или 3≤х≤8

$\sqrt{x+1}-2-\sqrt{x+1}+3=1$

1=1
при всех значениях х принадлежащих [3;8]
если √(x+1)≥3 или x+1≥9 или х≥8

$\sqrt{x+1}-2+\sqrt{x+1}-3=1$

$2\sqrt{x+1}=6$

$\sqrt{x+1}=3$

x+1=9
x=8
ответ: [3;8]

3)$\sqrt{2x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{2}$

ОДЗ х≥1

$\sqrt{2x+1}=\sqrt{2}-\sqrt{x-1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат

$2x+1 = 2 - 2\sqrt{2}\sqrt{x-1}+x-1$

$2\sqrt{2}\sqrt{x-1}=-x-2$

В области ОДЗ при х≥1 правая часть уравнения отрицательна
Поэтому уравнение не имеет решения