Question

Объясните почему уравнение не имеет корней

Answer 1

Для любого неотрицательного выражения A:
$\sqrt{A| \geq 0$
(при отрицательном А не имеет смысла)
причем $\sqrt{A}=0$<=>$A=0$

сумма двух неотрицательных выражений равняется 0, если каждое из выражений равно 0, значит данное уравнение равносильно системе уравнений
$x=0; x+1=0$
которая очевидно не имеет корней (уравнения имеют разные корни)
а значит и исходное уравнение не имеет корней
-----------------------------------
иначе
в левой части возрастающая функция как сумма двух возрастающих (функция корня и суперпозиция возрастающих функций корня и линейной)
ОДЗ функции задающей левую часть
$x \geq 0; x+1 \geq 0$
$x \geq 0$
а значит
$f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x+1} \geq f(0)=\sqrt{0}+\sqrt{1+0}=10$
а значит данное уравнение не может иметь корней (левая часть заведомо больше правой)
-------------
иначе
$\sqrt{x}=-\sqrt{x+1}$
подносим обе части к квадрату
$x=x+1$
$0x=1$
решений нет(проверка не нужна так как не нашли корней)
ответ: данное уравнение корней не имеет