Question

Найдите натуральное число x,для которого выполняется равенство а 3 наверху х+1 внизу -а 3 наверху х-1внизу = 96

Answer 1

$A _{n} ^{k}= \frac{n!}{(n-k)!} , \\ A _{x+1} ^{3} -A _{x-1} ^{3} =96,$

$\frac{(x+1)!}{(x+1-3)!} - \frac{(x-1)!}{(x-1-3)!}=96, \\ \frac{(x+1)!}{(x-2)!}- \frac{(x-1)!}{(x-4)!} =96,$

Сокращаем :  (х+1)!=(х-2)!·(х-1)·х·(х+1)      и    (х-1)!=(х-4)!·(х-3)(х-2)(х-1)

Уравнение принимает вид
(х-1)·х·(х+1) - (х-3)(х-2)(х-1)=96,
х³- х - (х - 3)(х² - 3х + 2) - 96=0,
х³ - х - (х³ - 3х² + 2х - 3х² + 9х - 6) - 96 = 0,
х³ - х - х³ + 3х² - 2х + 3х² - 9х + 6 - 96 = 0,
6х² - 12 х - 90 = 0,
х² - 2х - 15 = 0,
D=4+60=64
x = (2 - 8)/2 = -3    или  х = (2+8)/2 = 5
х = - 3 не удовлетворяет условию задачи, так как (х+1) и (х-1) - натуральные числа
 ответ. х=5