А1. 4)
А2. 4)
А3. 1)
А4. 4)
Божечки, почему тебе никто не ответил, мне стало так грустно. Если вдруг тебе еще нужен ответ (я понимаю, время истекло, но может тебе разрешили принести задание в следующий раз), то вот.
Объясняю, каким образом я получила эти корни. Я все решала теоремой, обратной теореме Виета. Это - метод подбора. Суть теоремы заключается в том, что произведение корней равно коэффициенту "с" (последней цифре в уравнении), а сумма корней равна коэффициенту при "х" (второй цифре в уравнении) с противоположным знаком. Вот пример:
x²+5х-6=0 (это первое уравнение из твоего задания,только я z поменяла на х)
Произведение каких двух цифр дает нам "6"? Можно предположить, что это 1 и 6. Важно помнить, что в нашем случае перед " 6" стоит минус. Это означает, что один из множителей будет с минусом. Но какой? Определить это нам следующее действие. Сумма наших множителей должна равняться коэффициенту при "х" с противоположным знаком. В нашем случае коэффициент при "х" - это 5, а если брать его с противоположным знаком, то получится -5. Не будем забывать, что у нас по-прежнему есть 1 и 6 и какое-то из этих чисел будет с минусом. Сейчас мы решим какое.
Что именно в сумме нам может дать -5:
-1+6 или -6+1.
Очевидно, что -6+1. Это означает, что именно шестерка будет с минусом. Таким образом мы получили два корня: -6 и 1.
Однако, когда я задавала вопрос "произведение каких двух чисел нам может дать 6", кто-то, возможно, подумал, что это 3 и 2. Что ж, раз уж это метод подбора, то давайте проверять все.
х²+5х-6=0
Если произведение 3 и 2 должно дать нам -6, то какое-то из этих числе должны быть с минусом. Однако, это невозможно. Ведь ни -3+2 ни -2+3
в сумме нам не может дать -5. Получается, предположение, что корнями могут быть числа 3 и 2 отпадает.
Теперь небольшой лайфхак.
Если коэффициент при " х" - нечетное число (как в нашем случае), то, подбирая корни, стоит сразу брать 1 и число, на которое ты умножишь эту еденицу, чтобы получить коэффициент "с" (в нашем случае - это 6).
Вот я примерно объяснила принцип теоремы Виета. Если что-то непонятно, спрашиваете)
Следующие свойства справедливы для любых положительных чисел a и b и любых действительных чисел a и b.
a0 = 1;aa + b = aa · ab;(aa)b = aab;(ab)a = aa · ba;Замечание 1. Отметим, что отрицательные числа также можно возводить в некоторые степени (целые и, более общо, рациональные вида где m - целое, n - натуральное).
Замечание 2. 0a = 0, для любого a > 0.
III. Свойства радикалов если a ≥ 0, b ≥ 0, k Î N, если ab ≥ 0, k Î N. где a ≥ 0, если m - четно, a Î R, если m - нечетно. где a ≥ 0, b > 0, n - четно или b ≠ 0, a Î R, если n - нечетно. где a ≥ 0, если m - четно или n четно, a Î R, если m·n - нечетно. где a > 0, b > 0, c > 0 и a2 ≥ b2c.Пример 1. Определить ОДЗ алгебраических выражений:
Решение. a) ОДЗ данного выражения определяется из неравенства x + x2 - 2x3 ≥ 0, которое решаем при метода интервалов:
x + x2 - 2x3 ≥ 0 Û x(1 + x - 2x2) ≥ 0 Û x(2x + 1)(1 - x) ≥ 0 Û x Î (-¥;-1/2]È[0;1].Таким образом, D(E) = (-¥;-1/2]È[0;1].
b) Отметим, что выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда
x2 + y ≠ 0,|x - y| ≠ 0,x + y ≠ 0,откуда следует, что D(E) = {(x,y) | x ≠ y, x ≠ -y}.c) Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, а корень второй степени существует только из неотрицательных выражений, то для определения ОДЗ получим систему
b + c ≠ 0,b2c + c2b ≠ 0,d ≥ 0, Û b + c ≠ 0,bc(b + c) ≠ 0,d ≥ 0, Û b + c ≠ 0,b ≠ 0,c ≠ 0,d ≥ 0.Таким образом, ОДЗ исходного выражения равна {(a,b,c,d) | b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d≥ 0}.
Пример 2. Определить, являются ли выражения A и B тождественно равными на множестве M.
Решение. a) Так как на множествеM, то, применив формулу сокращенного умножения, получим:
Условие a > b > 0 влечет и, следовательно, Отсюда получаем, что Таким образом, выражения A и Bтождественно равны на множестве M.b) Подобно предыдущему примеру
При преобразованиях учитывается, что, если то , и
Пример 3. Упростить выражения:
Решение. ОДЗ выражения определяется из системы решая которую, получим b ≥ 2.
Выполним равносильные на ОДЗ преобразования:
так как на ОДЗ , следовательно, Таким образом, при b ≥ 2 исходное выражение равноb) ОДЗ данного выражения является множество {(m,n) | m ≥ 0, n ≥ 0, m ≠ n}. Обозначив получим m = a6 и n = b6 выражение принимает вид
Таким образом, исходное выражение на ОДЗ тождественно равноc) На ОДЗ: {(a,b,c) | a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, a2 + c2 ≠ 0} выражение преобразуется следующим образом:
d) ОДЗ данного выражения является множество {(a,b,c) | a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c}. Приводя выражение к общему знаменателю, получим:
Учитывая вид знаменателя, разложим на множители числитель:
a3(c - b) + b3(a - c) + c3(b - a) = c(a3 - b3) + ab(b2 - a2) + c3(b - a) == (a - b)(c(a2 + ab + b2) - ab(a + b) - c3) = (a - b)(c(a2 - c2) + ab(c - a) + b2(c - a)) == (b - c)(a - b)(-a2b - a2c + c2(a + b)) = (a - b)(b - c)(b(c2 - a2) + ac(c - a)) == (a - b)(b - c)(c - a)(ab + bc + ca).Следовательно, на ОДЗ исходное выражение тождественно равно ab + bc + ca.
f) ОДЗ выражения является множество {(x,y,z) | x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x}. Первое слагаемое выражения преобразуем следующим образом:
Аналогично преобразуются и другие слагаемые:Следовательно,g) ОДЗ выражения равна R\{-2;0;3}. Учитывая, что выражение содержит |m| и |m - 3|, рассмотрим три случая:
пусть m Î (-¥;-2)È(-2;0); тогда |m| = -m, |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимает видпусть m Î (0;3); тогда |m| = m, |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимаетпусть m Î (3;+¥); тогда |m| = m, |m - 3| = m - 3 и выражение принимает видТаким образом,
Пример 4. Разложить на множители:
a) (x + y)(y + z)(z + x) - xyz;b) x3 + y3 + z3 - 3xyz;c) x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1;d) x5 + x + 1.Решение. a) Прибавляя и вычитая z(y + z)(z + x), а затем группируя удобным образом, получим:
(x + y)(y + z)(z + x) + z(y + z)(z + x) - z(y + z)(z + x) - xyz == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z((y + z)(z + x) - xy) == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z(z2 + yz + zx) == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z2(x + y + z) == (x + y + z)((y + z)(z + x) - z2) = (x + y + z)(xy + yz + zx).b) Применяется формула суммы кубов и решается подобно предыдущему упражнению
x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y)(x2 - xy + y2) + z(z2 - 3xy) == (x + y + z)(x2 - xy + y2) + z(z2 - 3xy - x2 + xy - y2) == (x + y + z)(x2 - xy + y2) + z(z2 - (x + y)2) == (x + y + z)(x2 - xy + y2 + z(z - x - y)) == (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz).c) Применяя формулы сокращенного умножения, получим:
d) x5 + x + 1 = 1 + x + x2 - x2 + x5 = 1 + x + x2 - x2(1 - x3) = (1 + x + x2) - x2(1 - x)(1 + x +x2) = (1 + x + x2)(1 - x2(1 - x)) = (1 + x + x2)(1 - x2 + x3).
