Question

Як обчислити інтеграл п/4 ∫ cos2xdx -п/4

Answer 1

$\int\limits^ \frac{ \pi }{4} _{- \frac{ \pi }{4} } {cos2x} \, dx$

Пусть $u==2x$
Тогда пусть $du==2dx$ и подставим $\frac{du}{2}$
$\int\limits {\cos \frac{u}{2}} \, du$
Интреграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции
$\int\limits {\cos \frac{u}{2} } \, du == \int\limits {\cos u} \, \frac{dx}{2}$
Интеграл от косинуса есть синус
$\int\limits {\cos u} \, du = \sin u$

Таким образом в результате будет $\sin \frac{u}{2}$
Заменим u еще в $\frac{\sin2x}{2}$

Добавляем постоянную интегрирования:
$\frac{\sin2x}{2} +C$

От п/4 и -п/4

$\dfrac{sin \frac{ \pi }{2} }{2} - \dfrac{sin(- \frac{ \pi }{2}) }{2} = \dfrac{1}{2} + \frac{1}{2} =1$

ответ: 1