Question

(3-а)х^2+2(а+1)x+2a=0 при каких значениях параметра а уравнение имеет корни одинаковых знаков?

Answer 1

1) a=3 тогда коэффициент при x^2 равен нулю и мы получаем просто линейное уравнение, у которого только 1 корень

2) a≠3
поделим все уравнение на (3-а)
$x^2+ \dfrac{2(a+1)}{3-a}\cdot x+ \dfrac{2a}{3-a} =0$
квадратное уравнение имеет корни один. знаков , тогда произведение этих корней должно быть положительно, а значит и по теореме виета свободный член должен быть положительным , т.е.
 $\dfrac{2a}{3-a}0\\\\\dfrac{2a}{a-3}<0\\\\a\in(0;3)$

Дополним еще условием существования 2-х корней
D>0
$D=4(a+1)^2-8a(3-a)=4a^2+8a+4-24a+8a^2=\\=12a^2-16a+4\\\\D0\\12a^2-16a+40\\3a^2-4a+10\\a_1= \frac{4+2}{6} =1;\quad a_2=\frac{4-2}{6} = \frac{1}{3} \\\\3(a-1)(a- \frac{1}{3}) 0$
$3(a-1)(a- \frac{1}{3}) 0\\x\in(-\infty; \frac{1}{3} )\cup(1;+\infty)$

Пересекаем полученные решения, получаем
$a\in(0; \frac{1}{3} )\cup (1;3)$