Question

Logxпо основанию 2 * log x по основанию 4 *l og x по основанию 8 * log x по основанию 16= 1/3 logx по основанию 1/2 решите, !

Answer 1

$log_{2}x*log_{4}x*log_{8}x*log_{16}x= \frac{1}{3}*log_{\frac{1}{2}}x$
$log_{2}x*log_{2^{2}}x*log_{2^{3}}x*log_{2^{4}}x= \frac{1}{3}*log_{2^{-1}}x$
$log_{2}x*(\frac{1}{2}*log_{2}x)*(\frac{1}{3}*log_{2}x)*(\frac{1}{4}*log_{2}x)= -\frac{1}{3}*log_{2}x$ - выносим показатели степени из оснований логарифмов
$(log_{2}x)^{4}*\frac{1}{2*3*4}= -\frac{1}{3}*log_{2}x$
$(log_{2}x)^{4}*\frac{1}{24}= -\frac{1}{3}*log_{2}x$ - разделим обе части на 1/24, получаем:
$(log_{2}x)^{4}= -\frac{24}{3}*log_{2}x$ - перенесем правую часть в левую
$(log_{2}x)^{4}+8*log_{2}x=0$
Замена: $log_{2}x=t$
$t^{4}+8t=0$
$t*(t^{3}+8)=0$
1) $t_{1}=0$
$log_{2}x=0$
$x=1$   - ответ

2) $t^{3}+8=0$
$t^{3}=(-2)^{3}$
$t_{2}=-2$
$log_{2}x=-2$
$x= \frac{1}{4}$   - ответ