Question

Докажите что 7*5^2n+12*6^n делится на 19 при любом натуральном n

Answer 1

Проверяем выполнение условия при n=1
$1)7\cdot 5 ^{2}+12\cdot 6=247, \\ 247:19=13$
         выполняется
Предполагаем, что условие выполняется для n =k, т .е что
$2)7\cdot 5 ^{2k}+12\cdot 6 ^{k}=A$  кратно 19
Докажем опираясь на это предположение, что и для следующего n=k+1  условие выполняется
$3)7\cdot 5 ^{2k+2}+12\cdot 6 ^{k+1}$ кратно 19
Доказательство. Берем  выражение в п. 3) и пытаемся выделить в нем выражение п.2) A:
$7\cdot 5 ^{2k+2}+12\cdot 6 ^{k+1}=7\cdot 5 ^{2k}\cdot 5 ^{2} +12\cdot 6 ^{k}\cdot 6= \\=7\cdot 5 ^{2k}\cdot 5 ^{2} +12\cdot 5 ^{2}\cdot 6 ^{k}- 12\cdot 5 ^{2}\cdot 6 ^{k}+12\cdot 6 ^{k}\cdot 6 = \\ =5 ^{2} (7\cdot 5 ^{2k} +12\cdot 6 ^{k})- 12\cdot 6 ^{k}(5 ^{2} -6)=25\cdot A - 12\cdot 6 ^{k}\cdot 19$
A кратно 19, уменьшаемое кратно, вычитаемое кратно 19, значит и вся разность кратна 19
На основании принципа математической индукции условие верно для любого натурального n