Question

Доказать, что при любом целом неотъемлемом n выражение 7 * 5 ^ 2n + 12 * 6 ^ n делится на 19

Answer 1

Доказальство методом математической индукции.

База индукции n=1 : $7 * 5 ^ {2n} + 12 * 6 ^ n=7 * 5 ^ {2*1} + 12 * 6 ^1=7*25+12*6=175+72=247=19*13 ,$ а значит число выражение 7 * 5 ^ 2n + 12 * 6 ^ n при n=1 делится на 19

Гипотеза индукции. Пусть при n=k выражение 7 * 5 ^ (2n) + 12 * 6 ^ n делится на 19, т.е. выражение 7 * 5 ^ (2k) + 12 * 6 ^ k делится на 19

Инукционный переход. Докажем, что тогда при n=k+1 выражение 7 * 5 ^ (2n) + 12 * 6 ^ n делится на 19

$7 * 5 ^ {2(k+1)} + 12 * 6 ^ (k+1)= 7*25*5^{2k}+12*6*6^k= 175*5^{2k}+72*6^k= (42*5^{2k}+72 *6^k)+133*5^{2k}= 6*(7*5^{2k}+6*5^{2k})+19*7*6^k$, что делится на 19 , так какждый из слагаемых делится на 19 (во второй как в произведение входит множитель 19, в первое слагамое как в произведение по гипотезе индукции входит множитель, который делится на 19)

По принципу математической индукции при любом целом неотрицательном n выражение 7 * 5 ^ 2n + 12 * 6 ^ n делится на 19