Question

Пусть x1 и x2-корни уравнения x^2+3x+sqrt5=0 найдите значения следующих выражений: a)x1*x2^2 б)x1^2+x2^2 в)x1: x2^2+x2: x1^2 г)x1^4+x2^4

Answer 1

X²+3x+√5=0
По теореме Виета
х₁+х₂=-3
х₁·х₂=√5
Найти
1)(x₁·x₂)²=(-3)²=9
б)x₁²+x₂²=(х₁+х₂)²-2х₁·х₂=(-3)²-2·√5=9-2√5

в) в решении используем результат б)
$\frac{ x_{1} }{ x_{2} ^{2} }+ \frac{ x_{2} }{ x_{1} ^{2} }= \frac{ x_{1} ^{3} +x_{2} ^{2} }{ x_{1} ^{2} x_{2} ^{2} }= \frac{ (x_{1} +x_{2})(x_{1} ^{2}-x_{1}\cdot x_{2}+x_{2} ^{2} }{(x_{1} x_{2})^{2}}= \frac{(-3)(9-2 \sqrt{5}- \sqrt{5}) }{ (\sqrt{5}) ^{2} }= \frac{9 \sqrt{5} -27}{5}$

г) в решении используем результат б)
x₁⁴+x₂⁴=(x₁²+x₂²)²-2x₁²x₂²=(9-2√5)²-2(√5)²=81-36√5+4·5-2·5=91-36√5

Answer 2

X^2+3x+sqrt5=0
(x1*x2)=корень(5) - по т.виетта
(x1+x2)=-3 - по т.виетта

а)(x1*x2)^2=(корень(5))^2=5
б)x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2*x1*x2=9-2*корень(5)~ 4,527864

в)x1:x2^2+x2:x1^2=(x1^3+x2^3)/(x1*x2)^2
(x1^3+x2^3)=(x1+x2)(x1^2-x1x2+x2^2)
x1:x2^2+x2:x1^2=(x1^3+x2^3)/(x1*x2)^2=(x1+x2)(x1^2-x1x2+x2^2)/(x1*x2)^2=
=(-3)(9-2*корень(5)-корень(5))/(корень(5))^2=
=(-3)*(9-3*корень(5))/5 ~ -1,37508

г)x1^4+x2^4=(x1^2+x2^2)^2-2*(x1*x2)^2=(9-2*корень(5))^2-2*(корень(5))^2=
=81+4*5-10-2*9*2*корень(5)=91-36*корень(5)~10,50155281