Решение: 1) область определения (-∞; ∞) 2) множество значений функции (-∞; ∞) 3) Проверим является ли функция четной или не четной: y(x)=1/6x³-x²+1 y(-x)=-1/6x³-x²+1, Так как у (-х) ≠-у (х) у (-х) ≠у (х) , то функция не является ни четной ни не четная. 4) Найдем нули функции: при х=0; у=1 - график перечекает ось ординат в точке (0;1) при у=0 получаем уравнение: 1/6x³-x²+1=0 уравнение не имеет рациональных корней. 5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции а так же точки экстремума: y'=0.5x²-2x; y'=0 0.5x²-2x=0 0.5x(x-4)=0 x1=0 x2=4 Так как на промежутках (-бескон; 0) и (4; бесконеч) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет. Так как на промежуткe (0;4) y'< 0, то на этом промежутке функция убывает. Так как при переходе через точку х=4 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (4 )=64/6-16+1=-13/3 Так как при переходе через точку х=0 производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (0 )=1 6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида: y"=x-2; y"=0 x-2=0 x=2 Tак как на промежуткe (-бесконеч; 2) y"< 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх Так как на промежутке (2; бескон) y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпкулостью вниз. Точка х=2; является точкой перегиба. у (2)=8/6-4+1=-5/3 7) проверим имеет ли график данной функции асимптоты^ а) так как функция не имеет точек разрыва, то она не имеет вертикальных асимптот. Проыерим имеет ли она наклонные асимптоты вида y=kx+b: k=lim (прих->∞) (y(x)/x)=lim (прих->∞) (1/6x²-x+1/x)=∞ Так как предел бесконечен, то наклонных асимптот функция не имеет
(х+2)*(х-7)>0 Найдём нули произведения ( для этого прировняем к 0 ) (х+2)*(х-7)=0 Произведение тогда равно 0, когда один из его множителей равен 0, следовательно х+2=0 х-7=0 х=-2 х=7 Чертим координатную прямую и решаем неравенство методом интервалов + - + °°> -2 7 Ставим получившиеся корни, точки незакрашенные, так как знак неравенства строгий, правый +, так как коэффициент перед х положительный ( =1 ) Теперь можно записать ответ Так как у нас >0, то ответом будет х принадлежит ( -∞ ; -2) U ( 7; +∞ )
1) область определения (-∞; ∞)
2) множество значений функции (-∞; ∞)
3) Проверим является ли функция четной или не четной:
y(x)=1/6x³-x²+1
y(-x)=-1/6x³-x²+1, Так как у (-х) ≠-у (х) у (-х) ≠у (х) , то функция не является ни четной ни не четная.
4) Найдем нули функции:
при х=0; у=1 - график перечекает ось ординат в точке (0;1)
при у=0 получаем уравнение: 1/6x³-x²+1=0
уравнение не имеет рациональных корней.
5) Найдем промежутки возрастания и убывания функции а так же точки экстремума:
y'=0.5x²-2x; y'=0
0.5x²-2x=0
0.5x(x-4)=0
x1=0
x2=4
Так как на промежутках (-бескон; 0) и (4; бесконеч) y'> 0, то на этих промежутках функция возрастатет.
Так как на промежуткe (0;4) y'< 0, то на этом промежутке функция убывает.
Так как при переходе через точку х=4 производная меняет свой знак с - на + то в этой точке функция имеет минимум: у (4 )=64/6-16+1=-13/3
Так как при переходе через точку х=0 производная меняет свой знак с + на - то в этой точке функция имеет максимум: у (0 )=1
6) Найдем промежутки выпуклости и точки перегида:
y"=x-2; y"=0
x-2=0
x=2
Tак как на промежуткe (-бесконеч; 2) y"< 0, то на этом промежутке график функции направлен выпуклостью вверх
Так как на промежутке (2; бескон) y"> 0, то на этом промежутке график функции направлен выпкулостью вниз.
Точка х=2; является точкой перегиба.
у (2)=8/6-4+1=-5/3
7) проверим имеет ли график данной функции асимптоты^
а) так как функция не имеет точек разрыва, то она не имеет вертикальных асимптот.
Проыерим имеет ли она наклонные асимптоты вида y=kx+b:
k=lim (прих->∞) (y(x)/x)=lim (прих->∞) (1/6x²-x+1/x)=∞
Так как предел бесконечен, то наклонных асимптот функция не имеет