Question

Найти угол между вектором a=i+2j+k и прямой,проходящей через точку m(0; 2; 1) и перпендикулярной векторам b=2i-2k и c=-i+j.

Answer 1

Через какую точку проходит прямая - это не важно, нужно только знать направляющий вектор $\vec p=p_x\vec i+p_y\vec j+p_z\vec k$, он получается из системы уравнений построенный на равенстве нулю скалярных произведений:
$\vec p\cdot \vec b = (p_x,p_y,p_z)\cdot(2,0,-2)=2p_x-2p_z = 0\\ \vec p\cdot \vec c = (p_x,p_y,p_z)\cdot(-1,1,0)=-p_x+p_y = 0\\$
Получим вектора такого типа:
$\vec p_\alpha=(\alpha,\alpha,\alpha)$
Зафиксируем $\alpha=1$:
$\vec p = (1,1,1)$
найдем искомый угол:
$\cos\hat{\left(\vec p,\vec a\right)} = \frac{\vec p \cdot \vec a}{|\vec p| \cdot |\vec a|}= \frac{1+2+1}{\sqrt{1+1+1}\cdot \sqrt{1+4+1}} = \frac{4}{\sqrt{3}\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$