Question

Найдите произведение корней уравнения (x^2-4)(x+1)(x-3)=5 (знаю что ответ 7)

Answer 1

Есть в уравнение четвертой степени вида  (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, и такое его решение, где а + b = c + d, или а + с = b + d, или а + d = b + c.
В данном примере будет  а + с = b + d.
$(x^2-4)(x+1)(x-3)=5\\ (x-2)(x+2)(x+1)(x-3)=5\\ -2+1=2+(-3)\\ -1=-1$
Перемножим эти пари скобок, имеем:
$((x-2)(x+1))*((x+2)(x-3))=5\\ (x^2+x-2x-2)(x^2-3x+2x-6)=5\\ (x^2-x-2)(x^2-x-6)=5\\$
Введем замену: $x^2-x-6=y$, тогда $x^2-x-2=x^2-x-6+4=y+4$
получим уравнение:
$(y+4)y=5\\ y^2+4y-5=0\\ D=16+20=36\\ y_1=1\\ y_2=-5$
Возвращаясь к исходной переменной, решим совокупность уравнений:
$\left[\begin{array}{ccc}x^2-x-6=1\\x^2-x-6=-5\end{array}\right \ \ \ \ \ \left[\begin{array}{ccc}x^2-x-7=0\\x^2-x-1=0\end{array}\right \ \ \ \ \ \\ 1) x^2-x-7=0\\ D=1+28=29\\ x_1=\frac{1+\sqrt{29}}{2}\\ x_2=\frac{1-\sqrt{29}}{2}\\ 2) x^2-x-1=0\\ D=1+4=5\\ x_3=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ x_4=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\$

x1, x2, x3 x4 - корни уравнения.
$\frac{1+\sqrt{29}}{2}*\frac{1-\sqrt{29}}{2}*\frac{1+\sqrt{5}}{2}*\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\frac{(1-29)(1-{5})}{16}=\frac{-28*-4}{16}=7$
ответ: 7