(-∞ ;-3) => функция выпукла;
(-3; +∞) => функция вогнута;
(-∞ ;-6) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает;
(-6; 0) <=> f'(x) < 0 => функция убывает;
(0; +∞) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает ;
Объяснение:
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
f'(x) = 3x2+18x
или
f'(x)=3x(x+6)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x(x+6) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = -6
(-∞ ;-6) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает;
(-6; 0) <=> f'(x) < 0 => функция убывает;
(0; +∞) <=> f'(x) > 0 => функция возрастает ;
В окрестности точки x = -6 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -6 - точка максимума. В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.
2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
f''(x) = 6x+18
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
6x+18 = 0
Откуда точки перегиба:
x1 = -3
(-∞ ;-3) => функция выпукла;
(-3; +∞) => функция вогнута;
Если корни многочлена с меньшей степенью совпадают с корнями многочлена большей степени - то многочлен большей степени делится на многочлен меньшей степени
Для примера x^2 - 2x + 1 делится на x-1 (корень 1)
x-1=0 x=1
(x -1)^2 = 0 x=1
и не делится на х+1
Так и здесь найдем корни многочлена второй степени и подставим в многочлен 5-й степени, если и там будут корни, то значит делится, если нет - то не делится
x^2 - 3x - 18 = 0
D = 9 + 72 = 81
x12=(3+-9)/2 = 6 -3
(x+3)(x-6) = 0
подставляем найденные значения в x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216 = 0
1. х=-3
(-3)^5 - 4 *(-3)^4 - 13*(-3)^3 + 216 = -243 - 324 + 351 + 216 = - 567 + 567 = 0 да корень
2. х=6
6^5 - 4*6^4 - 13*6^3 + 216 = 7776 - 5184 - 2808 + 216 = 7992 - 7992 = 0
да корень
Значит многочлен пятой степени делится на многочлен второй степени без остатка
(x^5 − 4x^4 − 13x^3 + 216) / ( x^2 − 3x − 18) = x^3 - x^2 + 2x - 12
|x-3| > a
распадается на два простых неравенства:
x-3 > a
x-3 < -a
решение ---объединение решений этих двух неравенств...
а в случае |x-3| > -1 ---это выполнено для любых х)))
модуль всегда больше или равен нулю... а уж тем более больше -1)))