Question

1. найдите наименьшее значение функции y=16cosx+27x-6 на отрезке [0; 3пи/2] 2. найдите наибольшее значение функции y=28x/пи +7sinx+2 на отрезке [-5пи/6; 0] 3. найдите наибольшее значение функции y=5ln(x+5)-5x+11 на отрезке [-4,8; 0] 4. найдите точку максимума функции y=(31-x)e^x+31 напишите, , решение !

Answer 1

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции y=16cosX+27X-6 на отрезке [0;3пи/2]

Решение: Находим первую производную и применим формулу $(\cos x)'=-\sin x$

$y'=(16\cos x+27x-6)'=(16\cos x)'+(27x)'-(6)'=\\ =-16\sin x+27$
Приравниваем производную функции к нулю, т.е. $f'(x)=0$

$-16\sin x+27=0\\ \\ \sin x= \dfrac{27}{16}$. Это уравнение решений не имеет, так как синус принимает свои значения на [-1;1].

Теперь найдем наименьшее значение функции на концах отрезках:
$y(0)=16\cdot \cos 0+27\cdot 0-6=16\cdot1 -6=16-6=10$ - наименьшее значение.
$y( \frac{3 \pi }{2} )=16\cdot \cos\frac{3 \pi }{2} +27\cdot \frac{3 \pi }{2} -6=27\cdot\frac{3 \pi }{2} -6\approx 121$

ответ: $\min_{[0;\frac{3 \pi }{2} ]}y(x)=y(0)=10 .$

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции y=28X/пи +7sinX+2 на отрезке [-5пи/6;0]

Решение: Производная функции: $y'=( \frac{28x}{ \pi } +7\sin x+2)'=(\frac{28x}{ \pi } )'+(7\sin x)'+(2)'=\frac{28}{ \pi } +7\cos x$
Приравниваем производную функции к нулю: $y'(x)=0$

$\frac{28}{ \pi } +7\cos x=0\\ \cos x=-\frac{4}{ \pi }$
Уравнение решений не имеет, т.к. левая часть не принадлежит отрезку [-1;1]

Найдем теперь наибольшее значение функции на концах отрезка.
$y(- \frac{5 \pi }{6} )=\displaystyle \frac{28\cdot (-\frac{5 \pi }{6} )}{ \pi } +7\sin\bigg(-\frac{5 \pi }{6} \bigg)+2\approx-24.833$

$f(0)= \frac{28\cdot0}{ \pi } +7\sin 0+2=0+7\cdot0+2=2$ - наибольшее значение.

ответ: $\max_{[-\frac{5 \pi }{6} ;0]}y(x)=y(0)=2$

Пример 3. Найдите наибольшее значение функции y=5ln(x+5)-5x+11 на отрезке [-4,8;0] 

Решение: Находим первую производную функции и применим формулу производной $(\ln x)'= \frac{1}{x}$

$y'=(5\ln (x+5)-5x+11)'=(5\ln(x+5))'-(5x)'+(11)'=\\ \\ = \dfrac{5}{x+5} -5= \dfrac{5-5(x+5)}{x+5}= \dfrac{5(1-x-5)}{x+5}= -\dfrac{5(x+4)}{x+5}$

Приравниваем производную функции к нулю: $y'(x)=0$
$\dfrac{5(x+4)}{x+5} =0$
Дробь обращается в нуль, если числитель равен нулю.

$x+4=0;~\Rightarrow~~ x=-4$

Теперь найдем наибольшее значение функции на концах отрезка.
$y(-4.8)=5\ln(-4.8+5)-5\cdot(-4.8)+11=5\ln0.2+24+11\approx 27$

$y(-4)=5\ln(-4+5)-5\cdot (-4)+11=5\underbrace{\ln 1}_{0}+20+11=31$ - наибольшее значение.

$y(0)=5\ln(0+5)-5\cdot 0+11=5\ln 5+11\approx 19$

ответ: $\max_{[-4.8;0]}y(x)=y(-4)=31$

Пример 4. Найдите точку максимума функции y=(31-x)e^[x+31]

Решение: Вычислим производную функции и применим формулы $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$ и $(e^x)'=e^x$

$y'=(31-x)'\cdot e^{x+31}+(31-x)\cdot (e^{x+31})'=(-1)\cdot e^{x+31}+e^{x+31}\cdot(31-x)=\\ \\ =e^{x+31}(-1+31-x)=e^{x+31}\cdot (30-x)$

$y'(x)=0;~~~~ e^{x+31}\cdot (30-x)=0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю
$e^{x+31}=0$ - уравнение решений не имеет

$30-x=0;\\x=30$

_____+____(30)___-______
При переходе с (+) на (-) в точке х=30 функция имеет локальный максимум.

$y(30)=(31-30)\cdot e^{30+31}=e^{61}$ - наибольшее значение