Question

Решить дифференциальное уравнение y''-3y'+2y=e^x

Answer 1

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.
Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения. Откинем правую часть и приравняем к нулю.
$y''-3y'+2y=e^x \\ y''-3y'+2y=0 \\ \lambda^2-3\lambda+2=0 \\ D=1 \\ \lambda_1=1;\lambda_2=2 \\ Y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}$
Теперь необходимо найти какое-либо частное решение  неоднородного уравнения.
Ищем частное решение в виде $\tilde y=(Ax^2+Bx)e^x \\ \tilde y'=((Ax^2+Bx)e^x)'=(Ax^2+Bx)'e^x+(Ax^2+Bx)e^x'= \\ =(2Ax+B)e^x+(Ax^2+Bx)e^x=(Ax^2+Bx+2Ax+B)e^x \\\tilde y'' =((Ax^2+Bx+2Ax+B)e^x )'= \\ =(Ax^2+Bx+2Ax+B)'e^x+(Ax^2+Bx+2Ax+B)e^x'= \\ =(2Ax+B+2A)e^x+(Ax^2+Bx+2Ax+B)e^x= \\ =(Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A)e^x$
Выполняем подстановку в наше изначальное диф. ур-ние:
$y''-3y'+2y=e^x \\ (Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A)e^x-3((Ax^2+Bx+2Ax+B)e^x)+ \\ +2(Ax^2+Bx)e^x=e^x \\ (Ax^2+Bx+4Ax+2B+2A-3(Ax^2+Bx+2Ax+B)+ \\ +2(Ax^2+Bx))e^x=e^x \\ (4Ax+2B+2A-6Ax-3B)e^x=e^x \\ (-2Ax-B+2A)e^x=e^x \\ -2A=0=A=0 \\ 2A-B=1$
Зная А найдем В, и будем иметь частное решение:
$A=0:2*0-B=1=-B=1=B=-1 \\ \tilde y=(Ax^2+Bx)e^x=(0*x^2+(-1)x)e^x=$
Составляем теперь общее решение неоднородного уравнения:
$y=Y+\tilde y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}-xe^x, \ C_1, C_2=const$