Question

Решить,оценка за четверть будет решаться 1)cos25cos15-sin25sin15 / cos100+cos20 2) выражение: (cosa-cos3a)/(1-cos2a) + (sina-sin3a)/(sin2a) заранее

Answer 1

1) $\frac{cos25*cos15-sin25*sin15}{cos100+cos20}$
По формуле косинуса суммы: $cos( \alpha + \beta )=cos \alpha *cos \beta -sin \alpha *sin \beta$ =>
$cos25*cos15-sin25*sin15=cos(25+15)=cos40$
По формуле сложения косинусов: $cos \alpha +cos \beta =2*cos \frac{ \alpha + \beta }{2} *cos\frac{ \alpha - \beta }{2}$ =>
$cos100+cos20=2* cos \frac{100+20}{2} * \frac{100-20}{2} =2*cos60*cos40$
$\frac{cos25*cos15-sin25*sin15}{cos100+cos20}=$$\frac{cos40}{2*cos60*cos40} = \frac{1}{2cos60} = \frac{1}{2* \frac{1}{2} } = \frac{1}{1} =1$
2) $\frac{cosA-cos3A}{1-cos2A} + \frac{sinA-sin3A}{sin2A}$
По формуле разности косинусов: $cosA-cos3A=-2*sin \frac{A+3A}{2}*sin \frac{A-3A}{2} =-2*sin2A*sin(-A)=$$2*sin2A*sinA$
По формуле разности синусов: $sinA-sin3A=2*sin \frac{A-3A}{2} *cos \frac{A+3A}{2} =2*sin(-A)*cos2A=$$-2*sinA*cos2A$
По формулам двойных углов: $1-cos2A=1-(1-2sin^{2} A) = 2sin^{2} A$
$sin2A=2sinAcosA$
$\frac{cosA-cos3A}{1-cos2A} + \frac{sinA-sin3A}{sin2A} =$$\frac{2*sin2A*sinA}{2sin^{2} A} + \frac{-2*sinA*cos2A}{2sinAcosA} =$$\frac{sin2A}{sinA} + \frac{-cos2A}{cosA}= \frac{sin2A*cosA}{sinA*cosA} + \frac{-cos2A*sinA}{cosA*sinA}$$=\frac{sin2A*cosA-cos2A*sinA}{sinA*cosA} =\frac{2*sinA*cosA*cosA-(2cos^{2}a-1) *sinA}{sinA*cosA} =$$\frac{2*sinA*cos^{2}A-2cos^{2}A*sinA+ sinA}{sinA*cosA} = \frac{sinA}{sinA*cosA} = \frac{1}{cosA}$