1.
а)x^3-2x = х(х²-2)
б)5a^2-10ab+5b^2 = 5(a^2-2ab+b^2) = 5(a-b)²
в)cm-cn+3m-3n = (cm-cn)+(3m-3n) = с(m-n)+3(m-n) = (с+3)(m-n)
2.
2(p+q)²-p(4q-p)+q² = 3p²+3q² при любых p и q
2(p+q)²-p(4q-p)+q² = 2(p²+2pq+q²) -4pq+p²+q² = 2p²+4pq+2q² -4pq+p²+q² = 3p²+3q²
таким образом, мы привели левую часть к правой, тем самым доказав, что значения выражений будут равны при любых p и q
3.
(x-3)(x+3) = x(x-2)
х²-9=х²-2х
2х=9
х=4,5
ответ: при х=4,5
4.
а)(a-3b)(a+3b)+(2b+a)(a-2b) = (a²-9b²) + (a²-4b²) = 2a²-13b²
б)(p+q)(q-p)(q²+p²) = (q²-p²)(q²+p²) = q⁴-p⁴
5.
x³-27-3x(x-3)=0
(x³-3³)-3x(x-3)=0
воспользуемся формулой разности кубов:
(х-3)(х²+3х+9)-3x(x-3)=0
(х-3)(х²+3х+9-3х)=0
х-3=0 или (х²+3х+9-3х)=0
х=3 х²+9=0
х²=-9 - решений нет
ответ: х=3
Вначале он плыл тогда со скорость х+у, обратно х-у (по течению - скорость реки ему плыть быстрее, поэтому прибавляем, против течения - наоборот, мешает, поэтому отнимаем).
По условию против течения скорость у него на 20 м/мин меньше, тогда:
х+у-(х-у)=20
2у=20
у=10 м/мин - скорость течения
Тогда скорость по течению у спортсмена х+10, против течения х-10.
По течению плыл 18 мин, тогда он проплыл Sпо=Vt=(x+10)*18
Против течения плыл 6 мин, тогда он проплыл Sпр=Vt=(х-10)*6
Общий путь туда и обратно составил 1080 м, тода
S=Sпо+Sпр=(x+10)*18+(х-10)*6=1080
Разделим на 6 и решим уравнение, найдя х - скорость спортсмена:
3(х+10)+х-10=180
3х+30+х=190
4х=160
х=40 м/мин - скорость спортсмена
Против течения тогда он плыл со скоростью 40-10=30 м/мин