Question

1)могут ли длины сторон прямоугольного треугольника составлять прогрессию? 2)в прогрессии всего n членов: а)какой номер имеет четвертый член? : б) каков номер k-го члена от конца,если члены занумерованы от начала? полностью решение!

Answer 1

1) Наверное так:
   пусть один катет b, другой катет b·q, гипотенуза bq²
   Проверяем выполнение теоремы Пифагора
   (bq²)²=b²+(bq)²
   b²q⁴=b²+b²q²  ⇒ q⁴=1+q²
q⁴-q²-1=0
D=(-1)²+4=5
q²=(1+√5)/2      второе решение не подходит, так как (1-√5)/2<0
$q= \sqrt{ \frac{1+ \sqrt{5} }{2} }$
отрицательное q  не удовлетворяет условию задачи ( стороны не могут быть отрицательными)

2)    а) четвертый имеет четвертый номер. Счет начинается с первого, с 1.
       б)b₁ -  первый член прогрессии,                                              n-ый
       b₂- второй
       b₃ -третий
       ....
      $b_k$ -  k-ый                                                                   ((n-k)+1)-ый
      $b_{k+1}$ -  (k+1)-ый                                                      (n-k)ый
      ...... 
      $b_n$ -  n-ый                      обратный счет вверх      1-ый

       После того как слева отметили к-ый от начала член прогрессии, останется  (n-k) членов прогрессии.
Теперь смотрим на правый столбик и начинаем подниматься вверх.
Когда дойдем до строчки, в которой слева написано k-ый член прогрессии, получается, что справа строчек вверх.
Обозначим
 n-k+1=m  ⇒  k=n-m+1
Поэтому если справа (снизу вверх) дойдем до элемента под номером m, то слева это элемент  под номером  (n-m+1)
ответ. k-ый от конца имеет номер (n-k+1)