Question

Найдите общий вид первообразных f(x)=x-2x^5+cosx

Answer 1

Задача сводится к нахождениею неопределенного интеграла от заданой функции. найдем его:

 $\int{x-2x^5+cos(x)}\, dx= \\ = \int{x}\, dx-\int 2x^5\,dx+\int cos(x)}\, dx= \\ =\frac{x^2}{2}-2\cdot \frac{x^6}{6}+sinx(x)+C,\ \ \ C=const$

Теперь упростим полученное выражение:

 $\frac{x^2}{2}-2\cdot \frac{x^6}{6}+sin(x)+C= \\ =x^2(\frac{1}{2}-\frac{x^4}{3})+sin(x)+C= \\=\frac{x^2}{6} \cdot (3-2x^4)+sin(x)+C$

С это константа, за счет ее вариации и можно найти любую первообразную F(x) от f(x) 

 ответ: $F(x)=\frac{x^2}{6} \cdot (3-2x^4)+sin(x)+C, \ \ \ C=const$