Question

A, b, c – натуральные числа, причем (a – b) – простое число и 3c² = c(a + b) + ab. докажите, что 8c + 1 – точный квадрат.

Answer 1

 
 $3c^2=c(a+b)+ab\\ 3c^2=ac+bc+ab \\$ 
положим что $a+b=x\\ a-b=y\\\\ 3c^2=cx + \frac{x^2-y^2}{4}\\ 12c^2=4cx+x^2-y^2\\ y^2=(x+6c)(x-2c)\\$  
 так как $y$ - простое 
 $y^2=(x+6c)(x-2c)\\$ 
 то есть либо  $x+6c=y^2\\ x-2c=y^2$ , и того система 
 $x+6c=y^2\\ x-2c=1\\\\$ 
отнимая получим 
$8c=y^2-1\\ 8c+1=y^2$ 
 чтд