Question

Решить систему уравнений : {x*sqrt(y)+y*sqrt(x)=30, x*sqrt(x)+y*sqrt(y)=35}

Answer 1

$\left \{ {{x \sqrt{y}+y \sqrt{x} =30 } \atop {x \sqrt{x} +y \sqrt{y} =35}} \right.$
Отметим ОДЗ
$\left \{ {{x \geq 0} \atop {y \geq 0}} \right.$
Произведем замену: пусть $\sqrt{x} =b, \sqrt{y} =a$
$\left \{ {{b^2a+a^2b=30} \atop {a^3+b^3=35}} \right.$
__________________________________________________________
Выносим общий множитель(и решим до конца)
$\left \{ {{ab(a+b)=30} \atop {(a^2-ab+b^2)(a+b)=35}} \right. \to \left \{ {{7ab(a+b)-6(a^2-ab+b^2)(a+b)=7\cdot30-6\cdot35} \atop {(a^2-ab+b^2)(a+b)=35}} \right.$
$\left \{ {{(7ab-6(a^2-ab+b^2))(a+b)=0} \atop {(a^2-ab+b^2)(a+b)=35}} \right.$
Следующая система эквивалентна предыдущей. так как $a+b \neq 0$
$\left \{ {{7ab-6(a^2-ab+b^2)=0} \atop {(a^2-ab+b^2)(a+b)=35}} \right.$
_____________________________________________________________

-----------------------------------------------------------------------------------------------
Преобразуем первое уравнение:
$7ab-6(a^2-ab+b^2)=0 \\ 7ab-6a^2+6ab-6b^2=0 \\ -6a^2+13ab-6b^2=0$
Разложим одночлены в сумму нескольких
$-6a^2+4ab+9ab-6b^2=0 \\ -2a(3a-2b)+3b(3a-2b)=0 \\ (3a-2b)(3b-2a)=0$
-----------------------------------------------------------------------------------------------
В итоге получаем систему $\left \{ {{(3a-2b)(3b-2a)=0} \atop {a^3+b^3=35}} \right.$
Решаем систему
$\left \{ {{ \left[\begin{array}{ccc}3a-2b=0\\3b-2a=0\end{array}\right} \atop {a^3+b^3=0}} \right.$
Решим отдельно
Первая система уравнения $\left \{ {{3a-2b=0} \atop {a^3+b^3=0}} \right.$
Из уравнения 1 выразим переменную а: $a= \frac{2b}{3}$
$b^3+( \frac{2b}{3})^3=35 \\ \frac{35}{27} b^3=35 \\ b^3=27 \\ b_1=3 \\ a_1=2$
Вторая система уравнения: $\left \{ {{3b-2a=0} \atop {b^3+a^3=35}} \right.$
Из уравнения 1 выразим переменную а: $a= \frac{3b}{2}$
$b^3+( \frac{3b}{2} )^3=35 \\ \frac{35}{8} b^3=35 \\ b^3=8 \\ b_2=2 \\ a_2=3$

        ________         _______           ________             _____          _____
Возвращаемся к замене

$\left \{ {{ \sqrt{x}=2} \atop { \sqrt{y}=3 }} \right. \,\,\,\,\,\,\,\,and\,\,\,\,\,\,\,\, \left \{ {{ \sqrt{x}=3 } \atop { \sqrt{y} }=2} \right. \\ \\ \left \{ {{x_1=4} \atop {y_1=9}} \right. \,\,\,\,\,\,\,\, and\,\,\,\,\,\,\,\, \left \{ {{x_2=9} \atop {y_2=4}} \right.$

ответ: $(4;9),\,(9;4).$