Question

Найти размеры цилиндрического бака без крышки, на изготовление которого, при заданном объеме v, пойдет наименьшее количество материала

Answer 1

Наименьшее количество материала потребуется на цилиндрический бак меньшей площади. Площадь нашего бака - это площадь боковой поверхности цилиндра плюс площадь основания, то есть
$S=2\pi Rh+\pi R^2$
Задача сводится к поиску минимума функции S, описывающей эту площадь. Для этого нужно перейти от функции двух переменных к функции одной переменной.
Размеры цилиндра зависят от двух величин - его высоты и радиуса основания. Выразим высоту цилиндра через известный нам объём и радиус из формулы объёма цилиндра:
$V=\pi R^2h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi R^2}$
Тогда
$S(R)=2{\pi}{R}\frac{V}{\pi R^2}+\pi R^2=\frac{2V}R+\pi R^2$
Для того, чтобы найти минимум функции нужно найти её производную и те точки, в которых она равна нулю.
$S'(R)=-\frac{2V}{R^2}+2\pi R\\2\pi R-\frac{2V}{R^2}=0\\\frac{2\pi R^2-2V}{R^2}=0\\R\neq0\\2\pi R^3-2V=0\\R=\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$
Осталось подставить в это выражение значение объёма V, вычислить радиус и убедиться в том, что это точка минимума - при прохождении через эту точку производная должна менять знак с минуса на плюс. Тут так и происходит. Найдём высоту цилиндра
$h=\frac{V}{\pi R^2}=\frac{V}{\pi\left(\sqrt[3]{\frac{V}\pi}\right)^2}$