Question

Пусть n - наименьшее натуральное число, которое дает различные остатки от деления на 2,4,…,2014. какой остаток число n дает при делении на 2014?

Answer 1

Положим что наше число четное , то есть $N=2x$ , тогда 
 $\frac{2x}{2}=x$ то есть остаток от деления на $2$ равен $0$, для второго $\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}$ , и очевидно либо число делится, либо остаток равен $2$ , то есть запишем  все формально 
 $N=2x+0\\ N=4y+2$, так как остатки различные , а остатки при делений числа $N$ равны $0;2$ , но в первом так же равна $0$ , отсюда и остаток  $2$.
Далее 
$N=8z+z_{1}$ , где $z_{1}$ остаток ,положим что он равен $3$ , тогда переходим к уравнению  
 $8z+3=2x\\ z=\frac{2x-3}{8}$ , но число $2x \neq 19n+8$ ,  то есть такой остаток не возможен , положим что он равен $4$ 
 $z=\frac{2x-4}{8}$ видно что такие числа  существуют. 
Теперь видим зависимость что остатки будут первым  четными числами 
 $N=2014q+z_{2014}\\ z=2012$
ответ  $2012$

Answer 2

таким наименьшим числом может быть 7  .Оно не будет делиться без остатка на 2 , З, 4, 5, 6. При делении на 5 этого числа в остатке будет 2