Покажем, что Петино множество не может содержать больше, чем 5 элементов. От противного: пусть множество содержит не менее 6 элементов. Упорядочим эти элементы по неубыванию модулей:
|a1|≤|a2|≤...≤|a6|.
Отметим, что среди элементов a2, a3… a6 не может встретиться 0.
Для любой четвёрки a, b, c, d,, являющейся выборкой из элементов a2, a3… a6, справедливо неравенство
abcd≤a41.
При этом, так как среди элементов a2, a3… a6 существует не более одного, совпадающего с a1 по модулю, мы получаем
a41<|abcd|.
Выберем четвёрку a, b, c, d, так, чтобы abcd=|abcd|.
Если среди элементов a2, a3… a6 нет отрицательных, то в качестве a, b, c, d, подойдут любые из этих элементов. Если среди элементов a2, a3… a6 есть ровно 1 отрицательный, то в качестве a, b, c, d, подойдут оставшиеся положительные элементы. Если среди элементов a2, a3… a6 есть ровно 2 или 3 отрицательных, то в качестве a, b, c, d, подойдут 2 отрицательных и 2 положительных элемента. Если же среди элементов a2, a3… a6 существует не менее 4 отрицательных, то в качестве a, b, c, d, подойдут любые 4 отрицательных элемента из a2, a3… a6.
Таким образом, мы нашли такие a, b, c, d,, для которых выполняется равенство abcd=|abcd|.
Но тогда abcd<a41<|abcd|=abcd.
Тем самым мы получили противоречие. Значит, Петино множество состоит не более, чем из 5 целых чисел.
Указанный пример показывает, что Петино множество с 5 элементами существует:
ответ:5
Объяснение:
Покажем, что Петино множество не может содержать больше, чем 5 элементов. От противного: пусть множество содержит не менее 6 элементов. Упорядочим эти элементы по неубыванию модулей:
|a1|≤|a2|≤...≤|a6|.
Отметим, что среди элементов a2, a3… a6 не может встретиться 0.
Для любой четвёрки a, b, c, d,, являющейся выборкой из элементов a2, a3… a6, справедливо неравенство
abcd≤a41.
При этом, так как среди элементов a2, a3… a6 существует не более одного, совпадающего с a1 по модулю, мы получаем
a41<|abcd|.
Выберем четвёрку a, b, c, d, так, чтобы abcd=|abcd|.
Если среди элементов a2, a3… a6 нет отрицательных, то в качестве a, b, c, d, подойдут любые из этих элементов. Если среди элементов a2, a3… a6 есть ровно 1 отрицательный, то в качестве a, b, c, d, подойдут оставшиеся положительные элементы. Если среди элементов a2, a3… a6 есть ровно 2 или 3 отрицательных, то в качестве a, b, c, d, подойдут 2 отрицательных и 2 положительных элемента. Если же среди элементов a2, a3… a6 существует не менее 4 отрицательных, то в качестве a, b, c, d, подойдут любые 4 отрицательных элемента из a2, a3… a6.
Таким образом, мы нашли такие a, b, c, d,, для которых выполняется равенство abcd=|abcd|.
Но тогда abcd<a41<|abcd|=abcd.
Тем самым мы получили противоречие. Значит, Петино множество состоит не более, чем из 5 целых чисел.
Указанный пример показывает, что Петино множество с 5 элементами существует:
1, 2, 3, 4, −5.