Question

Найти все значения параметра значения t, при котором система уравнения имеет единственное решение. найти все эти решения.

Answer 1

$\left \{ {{x^2+y^2=9} \atop {x^2+y^2=9y\cdot \sin t+3x\cdot \cos t-18\sin^2t}} \right.$
Не трудно заметить что это окружности.
Записав второе уравнение данной системы в виде  $(x-1.5\cos t)^2+(y-4.5\sin t)^2=1.5^2$, видим, что решениями системы есть координаты точек пересечений кругов с центрами $O_1(0;0)$ и $O_2(1.5\cos t;4.5\sin t)$ и радиусами $R_1=3$ и $R_2=1.5$ согласно. Эти круги имеют единую общую точку в таких случаях
          $O_1O_2=R_1+R_2$ (внешний ощупь)
          $O_1O_2=R_1-R_2$ (внутренний ощупь)
Поэтому для этого, чтобы найти нужные значения параметра t, достаточно решить совокупность уравнений
 $\left[\begin{array}{ccc}2.25\cos ^2t+20.25\sin^2t=20.25\\2.25\cos^2t+20.25\sin^2t=2.25\end{array}\right$
Решив совокупность имеем параметр $t= \frac{ \pi n}{2} , n \in Z$. Остается при этих значениях параметра t  решить систему уравнений.

При $t=2 \pi k, k \in Z:$ решение системы будет $(3;0)$
При $t= \frac{ \pi }{2} +2 \pi k, k \in Z$ решение системы: $(0;3)$
При $t=- \frac{ \pi }{2} +2 \pi k, k \in Z$ решение системы $(0;-3)$
При $t= \pi +2 \pi k, k \in Z$, решение системы $(-3;0)$