Обозначим S = sin(pi/7)sin(2pi/7)sin(3pi/7) и
C = cos(pi/7)cos(2pi/7)cos(3pi/7)
Тогда S*C = sin(pi/7)sin(2pi/7)sin(3pi/7)cos(pi/7)cos(2pi/7)cos(3pi/7) =
(sin(pi/7)cos(pi/7))*(sin(2pi/7)cos(2pi/7))*(sin(3pi/7)cos(3pi/7)) =
(1/2*sin(2pi/7))*(1/2*sin(4pi/7))(1/2*sin(6pi/7)) =
1/8*sin(2pi/7)*sin(4pi/7)*sin(6pi/7) = 1/8*sin(2pi/7)*sin(3pi/7)*sin(pi/7) = 1/8*S
T.e. S*C = 1/8*S, S не ноль, следовательно C = 1/8
Мы доказали, что
cos(pi/7)cos(2pi/7)cos(3pi/7) = 1/8
Теперь решим пример:
cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7) = (cos(2pi/7)+cos(4pi/7)) + cos(2*(3pi/7)) =
2cos(3pi/7)cos(pi/7) + 2cos(3pi/7)cos(3pi/7) - 1 =
2cos(3pi/7)*(cos(pi/7) + cos(3pi/7)) - 1 = 2cos(3pi/7)*2cos(2pi/7)cos(pi/7) - 1 =
4cos(pi/7)cos(2pi/7)cos(3pi/7) - 1 = 4*1/8 - 1 = -1/2
Пусть х собственная скорость парохода, тогда на путь по течению он затратит 80/(х+4) часа, против течения 80/(х-4) часа. Пароход совершает этот путь в два конца за 8ч 20мин=8⅓часа
80/(х+4)+ 80/(х-4)= 8⅓
80(х-4)+80(Х+4)= 8⅓*(х-4)(х+4)
160х=25/3(х²-16)
480х=25х²-400
25х²-480х-400=0
5х²-96х-80=0
Д=(-96)²-4*5*(-80)=9216+1600=10816
х₁=96+√10816/2*5=96+104/10=200/10=20
х₂=96-√10816/2*5=96-104/10=-8/10=-0,8 ( скорость отрицательной быть не может)
ответ: скорость парохода в стоячей воде или собственная скорость парохода равна 20км/час
2) 3 1/3·4 1/5+4,2·2/3+3 1/3·2 4/5+2,8·2/3 = 139