Question

Докажите, что нет такого рационального числа, квадрат которого равнялся бы 2. (если это не затруднительно, то как можно более подробно).

Answer 1

Предположим, что существует какое-либо дробное число, при возведении которого в квадрат можно получить два: (p/q)^2 = 2. При этом эта дробь несократима.

Запишем уравнение так: p^2 / q^2 = 2.

Умножим обе части уравнений на q^2, получим: p^2= 2q^2.

Выражение 2q^2 в любом случае должно быть четным, т. к. выполняется умножение на 2.

Значит, p^2 тоже четно.

Но известно, что квадрат нечетного числа дает нечетное число (например, 5^2 = 25), а квадрат четного – четное (4^2 = 16). Поэтому p должно иметь четное значение.

Если p четно, то его можно представить как p = 2^k. Тогда получим: (2k)^2 = 2q^2. Или 4k^2 = 2q^2.

Сократим полученное уравнение и получим: 2k^2 = q2.

Поскольку в левой части уравнения результат будет четным (т. к. происходит умножение на 2), то и q должно быть четным, чтобы его квадрат был четным.

Но вспомним,

ранее было доказано, что и p четно,изначально предполагалось, что взятая дробь p/q несократима.

Если же и p, и q четные числа, то образованную ими дробь можно сократить на 2. Т. е. приходят к противоречию с условием и на этом основании делают вывод, что нет рациональной дроби, квадрат которой может быть равен 2.