а² – b² = 2017
а² – b² = (а – b) * (а + b)
(а – b) * (а + b) = 2017
Число 2017 простое, поэтому имеет только два натуральных делителя 1 и 2017.
2017 = 1 * 2017
Поэтому
(а – b) * (а + b) = 1 * 2017
Имеем систему
{а + b = 2017
{а – b = 1
Из второго уравнения получим
а = b + 1
Подставим в первое уравнение
(b + 1) + b = 2017
2 b = 2017 - 1
2 b = 2016
b = 2016 : 2
b = 1008
а = 1008 + 1 = 1009
Проверка чисел а = 1009; b = 1008
1009² – 1008² = 2017
1018081 – 1016064 = 2017
2017 = 2017
ответ: существует только 1 вариант натуральных чисел разность квадратов которых равна числу 2017. Это числа 1008 и 1009.
Можно привести к общему числителю.
41/42=1722/1764,
42/43=1722/1763,
1764 > 1763,
1722/1764 < 1722/1763,
41/42 < 42/43.
Или выполнить некоторые преобразования:
41/42=(42-1)/42=1 - 1/42,
42/43=(43-1)/43=1 - 1/43,
42 < 43,
1/42 > 1/43,
1 - 1/42 < 1 - 1/43,
41/42 < 42/43.