Question

Найти увеличенную в 4 раза сумму корней уравнения (4х+7)²(2х+3)(х+2)=34 .

Answer 1

Для начала раскроем скобки
$(16x^2+56x+49)(2x^2+7x+6)=34$
Произведем замену. Пусть $2x^2+7x=t$, тогда получаем
$(8t+49)(t+6)-34=0\\ 8t^2+97t+294-34=0\\ 8t^2+97t+260=0$
$D=b^2-4ac=97^2-4\cdot8\cdot260=1089;\,\,\, \sqrt{D} =33.$
D>0, значит квадратное уравнение имеет 2 действительных корня.
$t_1= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-97-33}{2\cdot8} =-8.125;\\ \\ t_2= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-97+33}{2\cdot8} =-4.$

Возвращаемся к замене.
1) $2x^2+7x=-8.125$ или $16x^2+56x+65=0$
$D=56^2-4\cdot16\cdot65=-1024$
Поскольку D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.

2) $2x^2+7x=-4$ или $2x^2+7x+4=0$
Найдем сумму корней уравнения, используя теорему Виета.
$x_1+x_2= -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{7}{2}$

Увеличенная в 4 раза сумма корней: $4\cdot\bigg(-\dfrac{7}{2} \bigg)=-14.$

ответ: -14.