Question

Решите неравенство: log(x+2)по основанию (2-x)*log (3-x)по основанию (x+3) меньше или равно 0

Answer 1

Решение: 

$\displaystyle log_{2-x}(x+2)*log_{x+3}(3-x) \leq 0$

1) Найдем ОДЗ

1.1
$\displaystyle \left \{ {{x+2\ \textgreater \ 0} \atop {3-x\ \textgreater \ 0}} \right.\\\\ \left \{ {{x\ \textgreater \ -2} \atop {x\ \textless \ 3}} \right.$
Значит x∈(-2;3)
но это еще не все.. теперь ОДЗ по основанию
1.2
$\displaystyle \left \{ {{2-x\ \textgreater \ 0;2-x \neq 1} \atop {x+3\ \textgreater \ 0; x+3 \neq 1}} \right.\\\\ \left \{ {{x\ \textless \ 2; x \neq 1} \atop {x\ \textgreater \ -3; x \neq -2}} \right.$
значит x∈(-3;-2)(-2;1)(1;2)

теперь найдем пересечение этих множеств

x∈(-2;1)(1;2)

теперь решение:

для решения воспользуемся правилом что произведение двух множителей меньше нуля в двух случаях, когда оба множителя имеют разные знаки
НО нам нельзя забывать что основания могут быть больше или меньше 1.

Рассмотрим наши основания:
$\displaystyle x+3\ \textgreater \ 1; x\ \textgreater \ -2$
значит второе основание на ОДЗ всегда больше1

$\displaystyle 2-x\ \textgreater \ 1; x\ \textless \ 1$
Значит первое основание на промежутке (-2;1) больше 1 и на промежутке (1;2) меньше 1

Рассмотрим ПРОМЕЖУТОК (-2;1)
оба основания >1

1.1 первый случай
$\displaystyle \left \{ {{log_{2-x}(x+2) \geq 0} \atop {log_{x+3}(3-x) \leq 0}} \right.\\\\ \left \{ {{x+2 \geq 1} \atop {3-x \leq 1}} \right.\\\\ \left \{ {{x \geq -1} \atop {x \geq 2}} \right.$
решение этой системы (x≥2) не входит в наш промежуток

1.2 второй случай
$\displaystyle \left \{ {{log_{2-x}(x+2) \leq 0} \atop {log_{x+3}(3-x) \geq 0}} \right. \\\\ \left \{ {{x+2 \leq 1} \atop {3-x \geq 1}} \right.\\\\ \left \{ {{x \leq -1} \atop { x\leq 2}} \right.$
решение этой системы x≤-1 попадает в наш промежуток и объединив их получаем: -2<x<1 и x≤-1 общее решение (-2;-1]

Теперь рассмотрим промежуток где одно из оснований меньше 1
x∈(1;2)

1.1 первый случай
$\displaystyle \left \{ {{log_{2-x}(x+2) \geq 0} \atop {log_{x+3}(3-x) \leq 0}} \right.\\\\ \left \{ {{x+2 \leq 1} \atop {3-x \leq 1}} \right.\\\\ \left \{ {{x \leq -1} \atop {x \geq 2}} \right.$
пересечений нет, значит нет решения

1.2 второй случай
$\displaystyle \left \{ {{log_{2-x}(x+2) \leq 0} \atop {log_{x+3}(3-x) \geq 0}} \right.\\\\ \left \{ {{x+2 \geq 1} \atop {3-x \geq 1}} \right.\\\\ \left \{ {{x \geq -1} \atop {x \leq 2}} \right.$
решением будет x∈[-1;2] 

найдем пересечение с условием
-1≤x≤2 и 1<x<2 ответом будет  (1;2)

Общее решение
x∈(-2;-1] ∪(1;2)

Answer 2

Решение данного неравенства, представлен ниже