1) Положим что 7 это один из катетов, тогда 5 либо второй катет (высота) или высота проведенная к гипотенузе, пусть 5 это высота к гипотенузе и b второй катет, тогда высота равна 7b/√(b^2+49)=5 , откуда b=35/√24 то есть такой катет существует, значит для первого случая возможны два варианта , это треугольники (катет,катет,гипотенуза)=(5,7,√74) и (7,35/√24,49/√24)
2) Пусть 7 это гипотенуза, тогда 5 может быть одним из катетов, тогда второй катет равен √(49-25)=√24 (существует) или высота проведенная к гипотенузе, пусть a,b тогда катеты , откуда ab/7=5 и a^2+b^2=49 ab=35 a^2+b^2=49
a=35/b откуда b^4-49b^2+1225=0 D<0 то есть не существует такого треугольника
Значит существуют всего в сумме 3 различных прямоугольных треугольника с требуемыми условиями.
Пусть A=(n+1,...,n+k), В=(m+1,...,m+k) - исходные наборы подряд идущих чисел. Пусть A' и B' - наборы чисел, которые получаются из А и В перестановкой элементов, причем после суммирования чисел, стоящих в одинаковых местах в A' и B', получается набор подряд идущих натуральных чисел S=(s+1,...,s+k). Тогда сумма всех чисел в А и В должна равняться сумме чисел в S (т.к. эта сумма не зависит от перестановки элементов), т.е. nk+(k+1)k/2+mk+(k+1)k/2=sk+(k+1)k/2, откуда n+m+(k+1)/2=s. Значит k обязано быть нечетным.
Покажем, что при любом нечетном k можно так переставить числа в А и В, что получится требуемый S. Очевидно, что достаточно это сделать в случае когда n=m=0, т.е. A=B=(1,...,k) т.к. вычитание (или прибавление) к каждому элементу набора фиксированного числа n или m сохраняет "подряд идущесть" как в самих А и В, так и в S. В этом случае s=(k+1)/2. Переставим элементы набора А следующим образом: А'=(1,s+1, 2, s+2, 3, s+3, ... ,s-1,2s-1,s), т.е. на нечетных местах стоят числа 1,2,...,s, а на четных местах s+1, s+2,...,2s-1. Т.е. всего 2s-1=k штук. Переставим элементы набора B следующим образом: B'=(s,1, s+1, 2, s+2, 3, ... ,2s-2,s-1,2s-1), т.е. на нечетных местах стоят числа s,s+1,...,2s-1, а на четных местах 1, 2,...,s-1. Т.е. тоже всего 2s-1=k штук. Cкладывая элементы на одинаковых местах в наборах А' и B', получим набор S=(s+1, s+2, s+3, s+4, ..., 3s-3, 3s-2, 3s-1), т.е. набор из последовательных чисел. Например, для k=9, s=(9+1)/2=5, A'=(1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9, 5), B'=(5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9), S =(6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14). Таким образом, нужные k - все нечетные числа не превосходящие 2013, коих 2014/2=1007 штук.
lg2x=4
2x=10^4=10 000
x=10 000:2=5 000
ответ: 5 000
lgх(в квадраті)=4
x^2=10^4=10 000
х=100 или х=-100
ответ: -100;100
lg хподілити на 2=3
х/2=10^3
x/2=1000
x=1000*2=2000
ответ: 2000
log(2 внизу)(х+5)=1
х+5=2^1
x+5=2
x=2-5
x=-3
ответ: -3
log(3 внизу)(х квадрат +х)=1
x^2+x=3^1
x^2+x=3
x^2+x-3=0
D=1+12=13
x1=(-1-корень(13))/2
x2=(-1+корень(13))/2
ответ: (-1-корень(13))/2;(-1+корень(13))/2
log(3 внизу)(х квадрат +2)=3
x^2+2=3^3
x^2+2=27
x^2=27-2
x^2=25
x=5 или x=-5
ответ: -5;5
log(2 внизу) (16-х (в 3 степені))=3
16 - x^3=2^3
16-x^3=8
x^3=16-8
x^3=8
x=2
ответ: 2