Question

Выполнить полное исследование функции: f(x)=1/8(x-4)(x+2)^2

Answer 1

1. область определения функции
Област определения: множество всех действительных чисел: $D(f)=R$
2. Точки пересечения с осью Ох и Оу
 2.1 С осью Ох
$y=0 \\ \frac{1}{8} (x-4)(x+2)=0 \\ x_1=4 \\ x_2=-2$
(-2;0), (4;0) - точки пересечения с Осью Ох
 2.1. С осью Оу
$x=0;\,\, y=-2$
(0;-2) - точки пересечения с осью Оу
3. Функция не периодическая
4. Исследуем на четность функции
$f(-x)=\frac{1}{8} (-x-4)(-x+2)^2$
Итак, функция ни четная ни нечетная.
5. Критические точки(возрастание и убывание функции)
 5.1. Проиводная функции
$f'(x)=\frac{1}{8} (x+2)(3x-6)$
 5.2. Критические точки
$f'(x)=0 \\ \frac{1}{8} (x+2)(3x-6)=0 \\ x_1=-2 \\ x_2=2$
 5.3. Монотонность функции

___+__(-2)__-___(2)___+__>
Итак, функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$, а убывает на промежутке $x \in (-2;2)$. В точке х=-2 функция имеет локальный максимум, а в точке х=2 - локальный минимум
6. Точки перегиба
 6.1. Вторая производная
$f''(x)=0.75x$
 6.2. Точки перегиба
$f''(x)=0 \\ x=0$

__-___(0)___+__>
Итак, функция на промежутке $x \in (-\infty;0)$ - вогнута вниз, а на промежутке $x \in (0;+\infty)$ вогнута вверх

7. Горизонтальных, наклонных и вертикальных асимптот нет.