Question

Скажите мне формулу суммы ряда степеней числа. например 1+2^1+2^2+2^3+..+2^n, мне нужно найти сумму предположим 1+2^1+2^2+2^3++2^25. и вывод , если можно. (знак " ^ " - означает возведение в степень). лучше, конечно, в общем виде. типа 1+n+n^2+n^3+..n^k - сумму.

Answer 1

Вообще-то это обычная тема из учебника, называется "Сумма геометрической прогрессии". Вывод оень простой: раскрываем скобки в выражении:
$(1-n)(1+n+n^2+\ldots+n^{k-1})=\\ =(1-n)+(n-n^2)+(n^2-n^3)+\ldots+(n^{k-1}-n^k)=\\ =1-n^k$.
Видим, что все слагаемые кроме первого и последнего сокращаются. Поэтому
$1+n+n^2+n^3+\ldots+n^{k-1}=\frac{1-n^k}{1-n}$. В таком виде и рекомендую запоминать. У вас сумма там до k, но, надеюсь понятно, как изменится ответ.
P.S. Все это верно, если конечно $n\neq1$, и k - натуральное. Если n=1, то такую сумму посчитать тоже нет проблем.