Question

Решить неравенство: 11-5^(x+1)/25^x-5(35*5^(x-2)-2)> =1,5

Answer 1

$\frac{11- 5^{x+1} }{25^{x}-5(35*5^{x-2}-2)} \geq 1,5 \\ \frac{11- 5^{x+1} }{5^{2x}-7*5*5^{x-1}+10} \geq 1,5 \\ \frac{11- 5*5^{x} }{(5^{x})^{2}-7*5^{x}+10} \geq 1,5 \\$
Разложим на множители знаменатель:
$(5^{x})^{2}-7*5^{x}+10=0 \\ 5^{x} = t \\ t^{2}-7t+10=0 \\ t_{1} = 2, t_{2} = 5 \\ 5^{x} =2, 5^{x} = 5 \\$
Тогда знаменатель раскладывается на множители:
$\frac{11- 5*5^{x} }{(5^{x}-2)(5^{x}-5)} \geq 1,5 \\$
ОДЗ:  $5^{x} \neq 2. 5^{x} \neq 5 = x \neq 1, x \neq log_{5}2 \\$
$\frac{11- 5*5^{x} }{(5^{x}-2)(5^{x}-5)} - 1,5 \geq 0 \\ \frac{11- 5*5^{x} }{(5^{x}-2)(5^{x}-5)} - \frac{3}{2} \geq 0 \\ \frac{22- 10*5^{x} - 3(5^{x}-2)(5^{x}-5) }{2(5^{x}-2)(5^{x}-5)} \geq 0 \\ \frac{22- 10*5^{x} - 3((5^{x})^{2}-7*5^{x}+10) }{2(5^{x}-2)(5^{x}-5)} \geq 0 \\ \frac{22- 10*5^{x} - 3(5^{x})^{2}+21*5^{x}-30 }{2(5^{x}-2)(5^{x}-5)} \geq 0 \\ \frac{- 3(5^{x})^{2}+11*5^{x}-8 }{2(5^{x}-2)(5^{x}-5)} \geq 0 \\ \frac{3(5^{x})^{2}-11*5^{x}+8 }{2(5^{x}-2)(5^{x}-5)} \leq 0 \\$
Разложим числитель на множители:
$3(5^{x})^{2}-11*5^{x}+8=0 \\ 5^{x}=t \\ 3t^{2}-11t+8=0 \\ D= 121 - 4*3*8 = 121-96=25 \\ \sqrt{D} = \sqrt{25}=5 \\ t_{1}= \frac{11+5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \\ t_{2}= \frac{11-5}{6} = 1 \\ 5^{x}=\frac{8}{3}, 5^{x}=1 \\$

$\frac{3(5^{x}-1) (5^{x}-\frac{8}{3})}{2(5^{x}-2)(5^{x}-5)} \leq 0 \\$

Представив выражение слева в виде функции, видим она меняет знак в точках,  в которых каждая скобка обращается в ноль,  найдем эти точки:

$5^{x}=1 = x=0 \\ \\ 5^{x}=\frac{8}{3}= x= log_{5}\frac{8}{3} \\ \\ 5^{x} =2 = x= log_{5}2 \\ \\ 5^{x}=5 = x=1 \\$
Решаем методом интервалов:  на числовом луче рисуем последовательно четыре точки:   $0, log_{5}2, log_{5}\frac{8}{3} , 1 \\$

    +              0                  log2          +         log8/3           1              +
[email protected]О[email protected]О-------------
                                -                                          -

ответ:  $[ 0; log_{5}2)U[log_{5}\frac{8}{3}; 1) \\$

Answer 2

$(11-5*5 ^{x} )/(5 ^{2x} -7*5^x+10)-3/2 \geq 0$
$(22-10*5^x-3*5 ^{2x} +21*5^x-30)/2(5 x^{2x} -7*5^x+10) \geq 0$
$(3*5 ^{2x} -11*5^x+8)/2(5 ^{2x} -7*5^x+10) \leq 0$
$5^x=a$
(3a²-11a+8)/2(a²-7a+10)≤0
3a²-11a+8=3(a-1)(a-8/3)
D=121-96=25
a1=(11-5)/6=1
a2=(11+5)/6=8/3
a²-7a+10=(a-2)(a-5)
a1+a2=7 U a1*a2=10⇒a1=2 U a2=5
3(a-1)(a-8/3)/2(a-2)(a-5)≤0
           +                _                +                _                  +
------------------------------------------------------------------------------
                 1                  2                 8/3                5
1≤a<2 U 8/3<a≤5
1≤5^x<2 U 8/3<5^x≤5
0≤x<log(5)2 U log(5)8/3<x≤1
x∈[0;log(5)2) U (log(5)8/3;1]