Question

1. в вазе лежат 7 яблок и 4 груши. не глядя из вазы последовательно берут 2 фрукта, не возвращая их обратно. какова вероятность того, что второй извлечена груша, при условии, что первой также была извлечена груша? 2. в коробке лежат 10 деталей, среди которых 4 легче остальных. случайным образом на 6 из них сделали напыление. какова вероятность того, что вынутая из коробки деталь окажется легкой без напыления? 3. в вазе стоят 5 гвоздик и 6 нарциссов. какова вероятность того, что среди трех случайным образом вынутых цветков окажется по крайней мере одна гвоздика?

Answer 1

1. В вазе лежат 11 фруктов: 7 яблок и 4 груши. Сначала из вазы извлекли 1 грушу, т.е. это нам известно (вероятность 1). В вазе осталось 10 фруктов: 7 яблок и 3 груши. Вероятность того, что в этот раз будет взята груша равна:
$P = \frac{3}{10} =0,3$

2. В коробке лежат 10 деталей: 6 нормальных и 4 более лёгких. Значит, вероятность вытянуть из коробки лёгкую деталь равна (пусть это будет событие А):
$P(A) = \frac{4}{10} = 0,4$
На 6 деталей из 10 случайно сделали напыление. Тогда вероятность вытянуть деталь без напыления (пусть это будет событие В) равна:
$P(B) = \frac{4}{10} = 0,4$
Т.к. события А и В независимы, то вероятность их совместного появления равна произведению вероятностей:
$P(AB) = P(A)*P(B) = 0,4 * 0,4 = 0,16$

3. В вазе 11 цветков: 5 гвоздик и 6 нарциссов. Надо найти вероятность того, что среди 3 случайно вынутых цветков будет по крайней мере 1 гводика (пусть это событие А). Заметим, что собтытие, когда среди трёх вытащенных цветов все нарциссы, является противоположным событию А. Обозначим его $\overline{A}$ и найдём его вероятность.
Вероятность, что первым вытянутым цветком будет нарцисс, равна 6/11. Вероятность, что и второй цветок окажется нарциссом, равна 5/10. И наконец, вероятность, что и третий цветок будет нарциссом, равна 4/9. Т.к. события незавичимы, то вероятности перемножаем:
$P(\overline{A}) = \frac{6}{11}* \frac{5}{10}* \frac{4}{9} = \frac{4}{33}$
Есть другой вариант вычисления данной вероятности. Надо вычислить, сколько всего есть вариантов вытащить 3 цветка из 11 (это число сочетаний по 3 из 11 - $C_{11} ^3$). И вычислить число вариантов выбора 3 нарциссов из 6 ($C_6^3$). А потом по классической формуле вероятности находится требуемая вероятность. Не всегда, но в данном случае такой путь боле громоздок.

Теперь остаётся найти нужную вероятность:
$P(A) = 1 -P(\overline{A}) = 1 - \frac{4}{33} = \frac{29}{33}$