Question

Вычислите 1 5 и 8-й члены последовательности, если ее n-ый член задается формулой 2) найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 = pi/4

Answer 1

Вычислим первый член последовательности, подставив n=1;

$X_1=2^{-1}\cdot(-1)^n=-\dfrac{1}{2}$

Аналогично вычисляем и для n=5; n=8 и находим 5-й и 8-й члены последовательности:

$X_5=2^{-5}\cdot(-1)^5=-\dfrac{1}{2^5}=-\dfrac{1}{32}\\ \\ X_8=2^{-8}\cdot(-1)^=\dfrac{1}{2^8}=\dfrac{1}{256}$

2) Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  y=f(x) в этой точке, т.е. в нашем случае k = y'(x₀).

$y'=\bigg(-\dfrac{1}{3}\sin 3x+2\cos4x-3\bigg)^{'}=\bigg(-\dfrac{1}{3}\sin3x\bigg)^{'}+\left(2\cos4x\right)^{'}-3^{'}=\\ \\ \\ =-\dfrac{1}{3}\cdot 3\cos 3x+2\cdot (-4\sin 4x)-0=-\cos3x-8\sin4x$

Найдем теперь угловой коэффициент касательной, вычислив значение производной функции в точке x₀ = π/4:

$k=y'\bigg(\dfrac{\pi}{4}\bigg)=-\cos\dfrac{3\pi}{4}-8\sin\dfrac{4\pi}{4}=-\bigg(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigg)-8\cdot 0=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$