Question

Определите число корней уравнения 3 ctg 3x - корень из 3 = 0 принадлежащему отрезку [ п/6 ; п ] найдите наименьший положительный корень уравнения sin (x - п/6) = - корень из 3/2

Answer 1

$1)\ 3ctg(3x)-\sqrt3=0; \ x\ [\frac{\pi}{6};\pi]\\ 3ctg(3x)-\sqrt3=0\\ 3ctg(3x)=\sqrt3\\ ctg(3x)=\frac{\sqrt3}{3}\\ 3x=\frac{\pi}{3}+\pi k\\ x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3};\ x\ [\frac{\pi}{6};\pi]\\ \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3} \leq \pi\\ \frac{1}{6} \leq \frac{1}{9}+\frac{k}{3} \leq 1\\ \frac{1}{18} \leq \frac{k}{3} \leq \frac{8}{9}\\ \frac{1}{6} \leq k \leq 2 \frac{2}{3}\ =\ k=1; 2\\ k=1\ =\ x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{9}\\$
$k=2\ =\ x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}=\frac{7\pi}{9}\\ 2)\ sin(x-\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt3}{2};\ x0 \\ |x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\\ |x-\frac{\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k\\ \\ |x=2\pi k\\ |x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\\ x0\\ \\ |2\pi k0 \ =\ x=2\pi0(k=0 \ =\ x=0)\\ |-\frac{2\pi}{3}+2\pi k 0\ =k=0; x=-\frac{2\pi}{3}\ k=1;\ x=-\frac{2\pi}{3}+\\ +2\pi=\frac{4\pi}{3}0\\ \frac{4\pi}{3}$
ответ: $\frac{4\pi}{3}$