Область определения логарифма lg(3x-x^2) ограничена числами A > 0
То есть 3x-x^2 >0
Это возможно только при 3x > x^2.
В случае x >=3 последнее неравенство неверно, при x <=0 тоже.
постройте по точкам кривую y= 3x-x^2 чтобы убедиться.
3x-x^2 >0 верно только при 0< x <3 - это область определения функции,
а область значений существует для этого непрерывного диапазона х.
Надо вычислить минимальное и максимальное значения у, чтобы найти границы области значений для у. Приходится использовать понятие бесконечно малой величины о >0
и бесконечно большой +oo.
При x=0+o имеем y=lg(3x-x^2)= lg(3o-o^2)= lg(3o) = lg(o) = -oo
При x=3-o имеем y=lg(3*(3-o)-(3-o)^2)= lg(9-3o-9+6o-o^2)= lg(3o-o^2) = lg(3o) = lg(o)= -oo
Если взять производную функции и приравнять её к нулю, получим ситуацию, когда функция достигает максимума или минимума (касательная горизонтальна) .
y ' = lg(3x-x^2) ' = (ln(10)) * ln(3x-x^2) )'= ln(10)*( ln(3x-x^2))'= ln(10)* (1/ (3x-x^2)) * (3x-x^2) ' =
= ln(10)* 1/(3x-x^2) * (3-2x) =ln(10) * (3-2x) / (3x-x^2) .
Когда же ln(10) * (3-2x) / (3x-x^2) = 0 ?
при 3-2x=0, то есть при x=1,5 максимум достигается для у.
Вычисляем максимум y =lg(3x-x^2)= lg(3*1,5 -1,5^2) =lg (2,25) =0,3522
Область значений функции -оо < y < lg (2,25) =0,3522
Пример 1
y=x^3
y ' = 3 x^2
y '(-1) = 3 (-1)^2 = 3
Пример 2
y=x, y =0, x=2 S= (1/2)*x^2 =2
y=x, y =0, x=4 S= (1/2)*x^2 =8
Интеграл от функции y(x)-0 по dx равен (1/2)*x^2 здесь 0 это нижняя граница области,
она постоянная.
подставляя верхний предел x=x и нихний предел x=y=0 (при x=y)
получим, что интеграл равен (1/2)*x^2, выраженный аналитически, формулой
Подставляя два случая x получим численно две площади
Пример3. Знайдіть довжину вектора а (-2;1;2)
Корень квадратный из суммы квадратов проекций
Корень ((-2)^2+1^1+2^2) =3
- + +
_____________-3/4_____________0_______________________
ответ: x∈(-∞;-3/4)
Неравенство верно при любом значении х, т.к. знаменатель - всегда число положительное
ответ: х∈(-∞;+∞)