Question

Найдите площадь треугольника, одна сторона которого лежит на касательно к графику функции у= 0,5x^2+2x+2 в точке с абсциссой х0= - 2, а две стороны - на касательных к этому графику, проходящих через точку а(-1; -4)

Answer 1

надо найти уравнения этих касательных и точки их пересечения

f(x)=f(x0)+f`(x0)(x-x0)-общий вид касательной

1) для x0=-2

y`=0.5*2x+2=x+2

y`(-2)=-2+2=0

y(-2)=0.5*4+2*(-2)+2=2-4+2=0

тогда уравнение y1(x)=0+0(x+2); y1(x)=0

2)для нахождения касательных нужно определить точки касания, для этого в уравнение касательной я подставлю в y(x)=-4 и x=-1 (координаты точки А, так как она лежит на этих касательных тоже)

y(x)=y(x0)+(x0+1)(x-x0)

-4=y(x0)+(x0+2)(-1-x0)=0.5*x0^2+2x0+2-x0-x0^2-2-2x0

-4= -0.5x0^2-x0

0.5x0^2+x0-4=0

x0^2+2x0-8=9

D=4+32=36

x0=(-2+6)/2=2 и x0=(-2-6)/2=-4-это значит вторая касательная проходит через x0=-4 и x0=2

3)уравнение касательной через x0=-4

y2(x)=y(-4)+y`(-4)(x+4)=2-2(x+4)=2-2x-8; y2= -6-2x

y(-4)=0.5*16+2*(-4)+2=8-8+2=2

y(-4)=-4+2=-2

4) уравнение касательной с x0=2

y(x)=y(2)+y`(2)(x-2)=

y(2)=0.5*4+4+2=8

y`(2)=2+2=4

y3=8+4(x-2)=8+4x-8; y3=4x-уравнение третьей касательной

как видно из рисунка ( точки пересечения можно найти решая 3 три системы из 3 пар прямых касательных)

Площадь выделенного треугольника S=3*4/2=6