Question

Вычислить сумму a в степени 2006+1/a в степени 2006, если a²-a+1=0. .

Answer 1

Действительных таких $a$ не существует. А комплексные, да, есть.
$a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)=(a+1)\cdot 0=0$. Значит, $a^3=-1$. Отсюда
$a^{2006}=a^{3\cdot 668+2}=(a^3)^{668}\cdot a^2=(-1)^{668}a^2=a^2$,
$1/a^{2006}=1/a^2=a/a^3=-a.$
Т.е., $a^{2006}+1/a^{2006}=a^2-a=(a^2-a+1)-1=0-1=-1$.