Хорошо, давайте решим данное уравнение. Для начала нам необходимо найти производную функции f(x). Затем мы приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение для определения точек экстремума функции.
1. Найдем производную функции f(x).
Используя правило дифференцирования степенной функции, мы получим:
f'(x) = 3x^2 + 18x + 27
3. Решим полученное квадратное уравнение.
Для начала, давайте попробуем упростить уравнение, разделив все его члены на 3:
x^2 + 6x + 9 = 0
Теперь давайте попробуем разложить его на множители:
(x + 3)(x + 3) = 0
Таким образом, у нас получилось два равенства:
x + 3 = 0 или x + 3 = 0
Из первого уравнения получаем:
x = -3
Из второго уравнения получаем:
x = -3
Таким образом, мы получили две одинаковые точки экстремума функции, x = -3.
4. Теперь, чтобы проверить, является ли эта точка минимумом или максимумом, нам необходимо использовать вторую производную.
Возьмем вторую производную функции f(x):
f''(x) = 6x + 18
Подставляем найденную точку экстремума во вторую производную:
f''(-3) = 6(-3) + 18
= -18 + 18
= 0
Если вторая производная равна 0 в точке экстремума, то это может быть точка перегиба или точка, которую нужно дополнительно исследовать. Однако, в данном случае, так как это кубическая функция, точка x = -3 будет минимумом.
Таким образом, единственной точкой экстремума функции f(x) является x = -3, которая является минимумом функции.
Надеюсь, что я смог подробно объяснить и решить данный вопрос. Если у тебя остались какие-либо вопросы, пожалуйста, задай их.
f'(x)=0 поэтому
3x^2+18x+27=0 (:3)
x^2+6x+9=0
D=6^2-4×1×9=36-36=0
x=-6/(2×1)=-6/2=-3.