Відповідь:
Еще недавно, учась сложению чисел, мы складывали кучки из монет. Тогда перед нами стояла задачи сложить две кучки. Но допустим, мы хотим теперь сложить не две, а несколько кучек. Это можно было бы сделать так: сгребаем их все сразу в одну большую кучу и пересчитываем в ней все монеты. Такой сложения всем бы был хорош, да только ни на счетах, ни на бумаге нельзя сделать ничего подобного. На счетах и бумаге мы умеем складывать между собой только два числа. Поэтому мы не будем сгребать вместе сразу все кучки, а поступим так, чтобы все наши действия можно было легко перенести на бумагу.
Итак, перед нами несколько кучек из монет. Мы знаем, сколько монет в каждой кучке, и теперь мы хотим узнать, сколько же у нас всего монет во всех кучках. Мы берем любые две кучки и сдвигаем их вместе, образуя одну новую кучку побольше. Умея складывать два числа на бумаге, мы сможем легко вычислить, сколько у нас монет в новой кучке без фактического их пересчета. Теперь у нас стало на одну кучку меньше. Далее, берем еще две кучки, сливаем их воедино, вычисляем новое число монет в только что образованной кучке и, таким образом, снова уменьшаем количество кучек на одну. Мы повторяем и повторяем эту процедуру, уменьшая всякий раз число кучек на единицу, до тех пор пока у нас не останется одна-единственная большая куча. Число монет в этой куче нам известно, причем вычислили мы его на бумаге, а не прямым пересчетом.
Очевидно, мы получим один и тот же ответ, совершенно независимо от того, в каком порядке мы сдвигали кучки. А значит, когда перед нами находится сумма чисел, например,
8 + 9 + 2, мы можем вычислять ее тоже в любом порядке. Поэтому мы всегда будем выбирать такой порядок, какой для нас наиболее удобен. В данном случае удобно вначале сложить восьмерку и двойку, а потом добавить девятку:
8 + 2 + 9 = 10 + 9 = 19.
Видимо, по условию a + b + c = 1.
Умножим обе части исходного равенства на b:
ab + b² + bc = b. Тогда ab = b - b² - bc и bc = b - b² - ab.
Умножим обе части исходного равенства на c:
ac + bc + c² = c. Тогда ac = c - c² - bc. Рассмотрим чему
тогда равны суммы a + bc, b + ac и c + ab:
a + bc = a + b - b² - ab = (a + b) - b(a + b) = (a + b)(1 - b) =
= (a + b)(a + b + c - b) = (a + b)(a + c).
b + ac = b + c - c² - bc = (b + c) - c(b + c) = (b + c)(1 - c) =
= (b + c)(a + b + c - c) = (b + c)(a + b).
c + ab = c + b - b² - bc = (b + c) - b(b + c) = (b + c)(1 - b) =
= (b + c)(a + b + c - b) = (b + c)(a +c).
Перемножим эти три суммы:
(a + bc)(b + ac)(c + ab) = (a + b)(a + c)(b + c)(a + b)(b + c)(a + c) =
= (a + b)²(a + c)²(b + c)² = ((a + b)(a + c)(b + c))². Это выражение
есть полный квадрат.
125·65 = 25 ·5·5·13= 25· 25·13
Так что 2√(125·65) = 2·25√13 = 50√13