Question

1. найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=1/3x^3-x^2+1 на отрезке [-1; 3]. 2. при каких значениях параметра а функция у=5/3 ах^3 - 30 x^2+5(a+9)x-7 возрастает на всей числовой прямой?

Answer 1

1) y (x) = 1/3*x³ -x² +1)  ;  x∈ [-1 ; 3 ] .

min(y) --?  max(y) --?

y ' (x) = (1/3*x³ -x² +1)' =1/3*3*x² - 2*x +0 =x²  -2x ;
  y ' (x) = 0;
x² - 2x  = 0 ;
x(x-2) =0 ;
x=0;
x =2.

y(a) =y(-1) = 1/3*(-1)³ -(-1)² +1= - 1/3 -1 +1  = -1/3 .
y(b) =y(3) =1/3*(3)³ -3² +1 =1/3*27 -9 +1 = 1.
y(0) = 1/3*0³ -0² +1 = 1.
y(2) = 1/3*2³ -2² +1² =8/3 -4 +1 = -1/3.

min(y) = -1/3.
max(y)  =1.

2)  y = 5/3 ax³  -30x² +5(a+9)x   -7 .
y '    = 5ax² - 60x +5(a+9) =5(ax² -12x +a+9) ;
функция  возрастает на всей числовой прямой
y ' > 0;  
5(ax²  -12x +a+9)>0    ;
ax² -12x +a+9 > 0;

a=0 ⇒x<3/4    т.е.  не при всех   видно было сразу из функции  при a=0
y = -30x² +45x   -7  парабола ветви вниз (не имеет минимума)

a ≠ 0 ;
{ a > 0 ; D < 0 ⇔{ a > 0 ; D/4 < 0  ;
{a>0 ; 6² -a(a+9)<0.  {a>0 ; a² -9a -36 >0 .   {a>0 ; (a +3)(a -12) >0 .
{a>0 ; a∈( -∞; -3) U (12;∞).    
a> 12.

ответ:   a> 12