Question

Решить по теме тригонометрические уравнения ^2 это степень типа ,* это умножение,это дробь 4x/3 1)cos^2x-12sinx*cosx-13sin2^x=0 2)2sinx-3cosx=0 3)sin2x-sin3x+sin8x-sin7x=0 4)cos4x/3-5sin2x/3-3=0

Answer 1

$\cos^2x-12\sin x\cos x-13\sin^2x=0|:\sin^2x\\ ctg^2x-12ctgx-13=0$
Пусть ctg x= t, тогда получаем
$t^2-12t-13=0$
 Подибраем корни по т. Виета
$t_1=-1;\,\,\,\,\,\,t_2=13$

Возвращаемся к замене
$ctg x=-1\\ x_1= \frac{3 \pi }{4} + \pi n,n \in Z\\ \\ ctg x=13\\ x=arcctg13+ \pi n,n \in Z$

2) $2\sin x-3\cos x=0|:\cos x$
$2tg x-3=0\\ tgx=1.5\\ x=arctg(1.5)+ \pi n,n \in Z$

3) $\sin 2x-\sin 3x+\sin 8x-\sin 7x=0$
$-(\sin7x+\sin 3x)+\sin 8x+\sin 2x=0\\ -2\sin 5x\cos2x+2\sin5x\cos3x=0\\-2\sin 5x(\cos2x-\cos 3x)=0\\ 4\sin 5x\sin \frac{5x}{2} \sin \frac{x}{2} =0 \\ \\ \sin5x=0\\ 5x=\pi k,k \in Z\\x= \frac{\pi k}{5} , k \in Z\\ \\ \sin \frac{5x}{2} =0\\ x= \frac{2 \pi k}{5}, k \in Z$

$\sin\frac{x}{2}=0\\ x=2 \pi k,k \in Z$

$\cos \frac{4x}{3} -5\sin \frac{2x}{3} -3=0\\ 1-2\sin^2\frac{2x}{3} -5\sin\frac{2x}{3} -3=0\\ 2\sin^2\frac{2x}{3} +5\sin\frac{2x}{3} +2=0$
Пусть $\sin\frac{2x}{3} =t$, причем |t|≤1

$2t^2+5t+2=0\\ D=b^2-4ac=25-16=9 \\ t_1= \frac{-5+3}{4}=-0.5$
$t_2= \frac{-5-3}{4}=-2$ - не удовлетворяет условию при |t|≤1

Возвращаемся к замене
$\sin\frac{2x}{3} =-0.5 \\ \frac{2x}{3} =(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{6}+ \pi k,k \in Z \\ 2x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{2} +3 \pi k, k \in Z \\ x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{4}+ \frac{3 \pi k}{2} , k \in Z$