Question

Исследуйте функцию и постройте график: f(x)=4x²-0,5х(в 4 степени)

Answer 1

Исследуем функцию $f(x)=4x^2-0.5x^4$
 1. Область определения функции: $D(f)=R$

2. Точки пересечения с осью Ох и Оу
 2.1. С осью Ох (это значит что y=0)
$4x^2-0.5x^4=0\\ \\ x^4-8x^2=0\\ x^2(x^2-8)=0\\ x_1=0\\ x_2_,_3=\pm2 \sqrt{2}$
$(0;0),(2 \sqrt{2};0),(-2 \sqrt{2};0)$ - точки пересечения с осью Ох
 2.2. С осью Оу (если х=0)
$f(x)=4\cdot 0^2-0.5\cdot 0^4=0$
$(0;0)$ - точки пересечения с осью Оу
 
3. Точки эктремумы (возрастание и убывание функции)
 Производная функции
$f'(x)=(4x^2-0.5x^4)'=8x-2x^3$
 Приравниваем ее к нулю
$f'(x)=0\\ 8x-2x^3=0\\ 2x(4-x^2)=0\\ x_1=0\\ x_2_,_3=\pm2$

__+__|__-___|___+__|___-__
          -2        0         2
Функция возрастает на промежутке $(-\infty;-2)$ и $(0;2)$, а убывает - $(-2;0)$ и $(2;+\infty)$. В точке $x=\pm2$ функция имеем локальный максимум, а в точке $x=0$ - локальный минимум

4. Точки перегиба
 Вторая производная
$y''=8-6x^2 \\ 8-6x^2=0\\ x_1_,_2=\pm \frac{2 \sqrt{3} }{3}$
 

 Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.

Функция $f(x)$ называется четной, если $f(-x)=f(x)$
$f(-x)=4\cdot (-x)^2-0.5\cdot (-x)^4=4x^2-0.5x^4$
Функция четная, график симметричен относительно оси f